Die Entwickelung der Theorie der algebraischen Functionen in älterer und neuerer Zeit. (Q1523098)

Das ursprünglich aufgestellte Programm einer kritisch-vergleichenden Besprechung der verschiedenen Auffassungen, von denen aus die Theorie der algebraischen Functionen [einer Veränderlichen] im letzten Menschenalter behandelt worden ist, haben die Verf. nach zwei Richtungen modificirt. Einmal haben sie auf eine Behandlung der arithmetischen Theorien von Dedekind und Weber und von Kronecker, sowie der abzählend- mehrdimensionalen der neueren Italiener verzichtet; andererseits erschien ihnen ein Zurückgehen auf die Vorgeschichte erforderlich. Innerhalb des so gezogenen Rahmens geben die Verf. eine vollständige Zusammenstellung der Litteratur und eine übersichtliche Darstellung der Methoden und der Hauptresultate, die nach jeder Seite hin reiche Belehrung bietet; Ref. wünscht das um so mehr hervorzuheben, als er im folgenden über verschiedene Punkte seine abweichende Auffassung darlegen wird. Das Urteil der Verf. darüber, was als Fortschritt in der Mathematik anzusehen ist, erscheint charakteristisch ausgeprägt in dem Satze (p. 110): ,,so kam es, dass die Alten auf dem Standpunkt stehen blieben, wo noch das Interesse an dem Gegenstand dasjenige an dem Verfahren, durch welches man ihn beherrscht, überwiegt.'' Der I. Abschnitt schildert die Anfänge einer Theorie der algebraischen Curven und der Elimination, von Descartes bis Euler und Bézout; neben bekannten oder wenigstens viel citirten Namen erscheint p. 132 als ausführlicher Besprechung würdig de Gua de Malves. --- Bézout's Bemühungen um nähere Determination des Grades einer durch Elimination entstehenden Endgleichung sind wohl wenigstens in Frankreich (vgl. Serret's Algebra) nicht so ganz in Vergessenheit geraten, wie die Verf. annehmen. Der II. Abschnitt bringt zunächst einen kurzen Bericht über Lagrange's Théorie des fonctions analytiques, sowie über die in Gauss' Abhandlungen und Briefen versteckten functionentheoretischen Gesichtspunkte; dann aber eine ausführliche Darlegung der fortschreitenden Gedankenentwickelung in den zahlreichen einschlägigen Arbeiten von Cauchy. Die Verf. zeigen, wie dieselben auf eine doppelte Quelle zurückgehen. Einmal hat Cauchy den Begriff der Integration zwischen complexen Grenzen längs Parallelen zu den Axen seit 1814, längs einer beliebigen Curve seit 1825 (die jetzt gebräuchliche Form seines Integralsatzes erscheint erst 1844, 16 Jahre nach Green's Essay). Andererseits nimmt Cauchy 1827 die für die klassische Störungstheorie fundamentale Frage nach den Grenzen der Convergenz der Lagrange'schen Reihe in ihrer Anwendung auf die Kepler'sche Gleichung auf und gelangt von da zur Lehre vom Convergenzkreis überhaupt und von den kritischen Punkten. Was Cauchy noch fehlt, fassen die Verf. p. 197 so zusammen: ,,es bedurfte \(\alpha\)) einer Sonderung der Verzweigungswerte von den Unstetigkeitsstellen; \(\beta\)) einer Verschiebung des Mittelpunkte des Convergenzkreises aus dem Nullpunkt heraus; \(\gamma\)) der Untersuchung höherer Singularitäten, für die seit einem Jahrhundert in den Schriften der Geometer (Newton, de Gua, Cramer) das Material bereit lag.'' Damit ist zugleich die Bedeutung der Arbeiten von Puiseux gegeben, die diese Lücken ausfüllen. Der III. Abschnitt verfolgt das Abel'sche Theorem und das Umkehrproblem der hyperelliptischen Functionen von Abel bis Weierstrass. Abel's Pariser Abhandlung wird p. 213 ff. eingehend gewürdigt, namentlich die in ihr enthaltenen Versuche, den Geschlechtsbegriff zu fassen (wo nennt übrigens Riemann, wie die Verf. p. 221 angeben, sein \(p\) ,,Klassenzahl''?). Die zwischen deren Abfassung und Drucklegung veröffentlichten Abhandlungen von Jürgensen, Broch, Minding und eine wenig spätere von Rosenhain zeigen, ,,dass nur Minding in Abel's Gedankengang tiefer eingedrungen war'' (p. 233). Uebrigens wird in der Besprechung derselben das Wort in einem nicht ganz klaren Sinn gebraucht (die richtige Darlegung der betreffenden Verhältnisse p. 321). Jacobi, Göpel, Rosenhain's Preisschrift, Weierstrass' älteste Veröffentlichungen schliessen den Abschnitt. Der IV. Abschnitt handelt von Riemann's Theorie und ihrem Ursprung aus der mathematischen Physik (Green, Gauss, Dirichlet, Kirchhoff, Helmholtz). Den Anknüpfungspunkt sehen die Verf. nicht, wie Klein, in der Theorie galvanischer Strömungen, sondern in den elektrostatischen Problemen der bekannten nachgelassenen Note. Der Kritik des sogenannten Dirichlet'schen Princips als eines Beweismittels (p. 265) wird heute niemand mehr widersprechen; aber die Verf. unterschätzen die Tragweite und überschätzen die Complicirtheit der dasselbe ersetzenden Beweismethoden von Schwarz und Neumann (denen Poincaré anzureihen gewesen wäre) --- vgl. p. 286 und den noch schärferen Ausdruck p. 435. --- Infolge dessen sehen sie in Riemann's Methoden einen in der Hauptsache überwundenen Standpunkt (p. 285) und finden es (p. 565) ,,bemerkenswert, dass dieselben auch solchen Aufgaben sich gewachsen zeigen, die bisher ausschliesslich der Domäne der Algebra zugerechnet worden sind.'' Der V. Abschnitt: ,,die geometrisch-algebraischen Richtungen'' bespricht zunächst die geometrischen Vorarbeiten bei Plücker, Jacobi, Cayley, Aronhold, Hesse u. a. Der in ihnen dominirende Begriff des ,,im allgemeinen'' wird p. 290 als ,,ein notwendiger Durchgangspunkt'' charakterisirt, ,,der den Gesichtskreis dergestalt erweiterte, dass sich später das Bedürfnis und die Möglichkeit strenger Begründung geltend machen konnte''. Es folgen die zum Verständnis Riemann's wichtigen Abhandlungen von Roch, dann die zwischen Functionentheorie und Geometrie vermittelnde Thätigkeit von Clebsch, mit ihrer Zusammenfassung in dem Buche von Clebsch und Gordan. Ohne die Schwächen des letzteren --- die mangelhafte Constantenzählung, und was damit zusammenhängt --- zu verschweigen, finden die Verf. seine Bedeutung darin, ,,dass die algebraischen Sätze klar ausgesprochen, in ihrer functionentheoretischen Bedeutung erkannt und zur Auffassung und Lösung der Probleme fortwährend benutzt werden; dass überhaupt der algebraische Teil der Theorie mehr in den Vordergrund gerückt und teilweise bereits auf selbstständige Grundlage gestellt wird''. Wenn sie zu den bedeutendsten Leistungen des Werkes die Ausbildung der Puiseux'schen Schleifentheorie zählen, so hängt das eben mit dem oben besprochenen Standpunkt zusammen, den sie Riemann gegenüber einnehmen. Es folgt der Bericht über die älteren Arbeiten der Verf. selbst, in denen einerseits das bis dahin vernachlässigte Problem der Specialgruppen in Angriff genommen, andererseits die bei Clebsch-Gordan noch überwiegende ternär-projective Auffassung durch die Hervorhebung der gegenüber allgemeiner eineindeutiger Umformung invarianten Eigenschaften auch äusserlich überwunden wird. (S. 360 wird das Verhältnis zwischen dem eigentlichen Riemann-Roch'schen Satze und dem Brill-Noether'schen Corollare auseinandergesetzt; aber S. 543 ff. reden die Verf. doch wieder vom Riemann-Roch'schen Satze, während sie ihr eigenes Corollar meinen.) Der VI. Abschnitt handelt speciell von der Theorie der singulären Punkte. Die Auflösung der singulären Stelle durch rationale Transformation (einerseits Kronecker und Weierstrass, andererseits Hamburger und Noether), die Bestimmung der Multiplicität des Schnittpunkts zweier Curven (Cayley, Weierstrass, Halphen, Noether), die charakteristischen Zahlen eines Zweiges (Halphen, St. Smith), die Äequivalenzzahlen, mit welchen ein singulärer Punkt in die Plücker'schen oder andere Abzählungsformeln tritt (Cayley, Halphen), die Erzeugung von höheren Singularitäten durch Grenzübergang (Brill), endlich Realitätsfragen (Klein) werden nach einander erörtert. Der VII. Abschnitt bringt eine ausführliche Darstellung der algebraischen Theorien, auf welche Weierstrass seine Behandlung der Abel'schen Functionen gründet, nach Nachschriften aus verschiedenen Jahren; eingehendere Besprechung kann hier wohl mit Rücksicht auf die bevorstehende authentische Publication der Weierstrass'schen Vorlesungen unterbleiben. Es schliesst sich daran noch ein kurzer Bericht über die wenig bekannte algebraische Behandlungsweise Christoffel's. Der VIII. Abschnitt vereinigt unter der Ueberschrift ,,Darstellung des Gebildes, seiner Formen und Functionen in invarianter Gestalt'' den Bericht über die an die Weber-Nöther'sche Normalcurve anknüpfenden Untersuchungen, insbesondere über unendliche Scharen umkehrbar eindeutiger Transformationen eines Gebildes in sich, mit dem über die kanonischen Darstellungen von Christoffel und von Klein. Was die Darstellung der Formen in invarianter Gestalt betrifft, so würden darüber die inzwischen veröffentlichten Sätze von Ritter (Math. Ann. XLIV. 305) zu vergleichen sein, übrigens auch Ergebnisse der Riemann'schen Methoden, an denen die rein algebraische Untersuchung vorbeigeführt hat. Der IX. Abschnitt bespricht die weitschichtige Litteratur der Wurzelfunctionen und Wurzelformen und ihrer Zuordnung zu den Theta. Die früher nicht immer beachtete Unterscheidung der bei den Arten von Charakteristiken nach ihrem verschiedenen Verhalten gegenüber linearer Transformation der Perioden wird durchweg betont; die Verfasser schlagen statt der verschiedenen bereits vorhandenen Namen die neuen ,,Periodencharakteristiken'' und ,,Thetacharakteristiken'' vor. Hervorgehoben wird p. 494 die allerdings indirecte Bestimmung der Thetacharakteristiken gegebener Wurzelfunctionen ungerader Dimension, die Prym 1866 gegeben hat. Auch die von den Theta ausgehenden Untersuchungen von Frobenius, Schottky und Wirtinger finden in diesem Abschnitt ihren Platz. Zu der p. 485 erörterten Frage darf Ref. auf den Schluss seiner Note in Gött. Nachr 1890 verweisen. Der letzte Abschnitt endlich handelt von algebraischen Correpondenzen und ausgezeichneten Gruppen. Die Verfasser berichten zunächst über die Bemühungen der Algebraiker um den allgemeinen Beweis der Cayley- Brill'schen Correspondenzformel; dass dieselben ungenügend bleiben mussten, da die singulären Correspondenzen sich dieser Formel eben nicht unterordnen, wird nicht mit voller Schärfe hervorgehoben. Das wirkt denn auch auf den Bericht über ausgezeichnete Gruppen und Specialgruppen zurück; die Verfasser beschränken sich auf Curven mit ,,allgemeinen'' Moduln und verhalten sich (p. 549) im wesentlichen ablehnend gegen die Verwendung höherer Räume im Sinne der neueren italienischen Schule. Den Schluss bildet der Bericht über Hurwitz' Correspondenztheorie; Angesichts derselben entschliessen sich die Verfasser zwar zu dem oben erwähnten Zugeständnis hinsichtlich der Leistungsfähigkeit der Riemann'schen Methoden, finden aber doch in Hurwitz' allgemeiner Formel ,,kein thatsächliches Ergebnis hinsichtlich der Abzählungen'', ,,da die Auswertung der auftretenden Zahlen \(h\), \(G\) schon in einfachen Fällen auf umständliche Rechnungen führe''. Dass dies ein Mangel der Methode ist, würde noch zu erweisen sein; vielleicht gestattet eben die tief in die Mannigfaltigkeit der individuellen Eigenschaften der Gebilde eindringende Fragestellung keine Erledigung durch ein schematisches Abzählen.