Sugli infiniti ed infinitesimi attuali quali elementi analitici. (Q1523184)

Ein ,,Monosemium'' ist, nach Hrn. Levi-Civita, ein Symbol \(a_\nu\), wo \(a\) und \(\nu\) irgend zwei reelle Grössen bezeichnen. Ist \(\nu=0\), so fällt das Monosemium \(a_\nu\) mit der reellen Grösse \(a\) zusammen. Ist \(\nu=\mu\) so ist \(a_\mu\gtreqqless b_\nu\), je nachdem \(a\gtreqqless b\); ist dagegen \(\nu\neq\mu\), so ist \(a_\mu\gtrless b_\nu\), je nachdem \(\mu\gtrless\nu\). Eine Gruppe von Monosemien mit lauter verschiedenen Indices definirt eine ,,allgemeine Zahl zweiter Art''; diese ist ,,elliptisch'' (bezw. ,,hyperbolisch''), wenn für jede beliebig grosse negative (positive) Zahl \(A\) die Anzahl der Indices, welche algebraisch grösser (kleiner) als \(A\) sind, endlich ist. Ist die Gruppe endlich, und nur in diesem Falle, so kann sie sowohl eine elliptische als eine hyperbolische Zahl definiren. Man kann für die elliptischen oder hyperbolischen Zahlen die arithmetischen Operationen derart definiren, dass sie den gewöhnlichen formalen Gesetzen gehorchen; man kann auch auf dieselben den Grenz- und Functionenbegriff anwenden. Die elliptischen Zahlen zweiter Art können auf der unbegrenzten Geraden durch die Veronese'schen unendlich kleinen und unendlich grossen Strecken dargestellt werden, indem man jeder solchen Zahl eine unendlich grosse, endliche oder unendlich kleine Strecke zuordnet, je nachdem der Index, welchem die Zahl zugehört (d. i. der grösste in der die Zahl definirenden Gruppe vorkommende Index), \(\gtreqqless0\) ist. Für jeden (reellen) Wert \(\nu\) des Index giebt es dann eine ,,Grundeinheit der \(\nu\)- ten Ordnung'' \(1_\nu\); von den \(1_\mu\) und \(1_\nu\) entsprechenden Strecken ist die erste unendlich gross, endlich oder unendlich klein in Bezug auf die zweite, je nachdem \(\mu\gtreqqless\nu\) ist, und zwei demselben Index angehörige Zahlen werden durch zwei zu einander in endlichem Verhältnisse stehende Strecken dargestellt.