Arithmetische Untersuchungen über die gemeinsamen ausserwesentlichen Discriminantenteiler einer Gattung. (Q1523264)

Siehe JFM 25.0135.03. Die Grundlage der Theorie der allgemeinen algebraischen Zahlkörper bildet der von Kronecker und Dedekind bewiesene Satz von der eindeutigen Zerlegung eines jeden Ideals in Primideale. Nächst diesem Satze ist für die genannte Theorie der von Dedekind bewiesene Satz von höchster Wichtigkeit, dem zufolge die Discriminante eines Zahlkörpers alle und nur diejenigen rationalen Primzahlen enthält, in denen das Quadrat eines Primideals aufgeht. Trotz wiederholter Versuche war es Kronecker nicht gelungen, durch seine Methode der Unbestimmten den Dedekind'schen Satz vollständig zu beweisen. Die so bezeichnete wesentliche Lücke der Kronecker'schen Theorie wird durch die erste der beiden vorliegenden Arbeiten ausgefüllt. Der Gedankengang des Beweises ist folgender. Es sei in Kronecker'scher Bezeichnung \(w_0=u_1\xi_1+\cdots+u_n\xi_n\) die Fundamentalform des Körpers und \(F(w)=0\) die Fundamentalgleichung; ferner werde die rationale Primzahl \(p=\mathfrak p_1\mathfrak p_2\cdots\mathfrak p_l\) gesetzt, wo \(\mathfrak p_1\), \(\mathfrak p_2\), ..., \(\mathfrak p_l\) Primideale von den Graden \(f_1\), ..., \(f_l\) bedeuten: dann wird zunächst gezeigt, dass für jedes \(\mathfrak p_i\) eine ganze ganzzahlige Function \(F_i(w)\) vom \(f_i^{\text{ten}}\) Grade in \(w\) gefunden werden kann, so dass \(F_i(w_0)\equiv0\) nach \(\mathfrak p_i\), aber nicht \(\equiv0\) nach \(\mathfrak p_i^2\) oder nach \(\mathfrak p_k\) wird. Dann folgt, dass \(F(w)\equiv F_1(w)\cdots F_l(w)\) nach \(p\) ist, und dass es auch ausser \(F(w)\) keine andere ganze ganzzahlige Function \(n^{\text{ten}}\) Grades in \(w\) geben kann, welche für \(w=w0\) nach \(p\) der Null congruent wird. Hieraus folgt leicht, dass die Discriminante der Fundamentalform von der Gestalt \(DU\) ist, wo \(D\) die Körperdiscriminante und \(U\) eine solche ganze ganzzahlige Function bedeutet, deren Coefficienten den grössten gemeinsamen Teiler 1 besitzen. Die letztere Thatsache lässt unmittelbar die Richtigkeit des Dedekind'schen Satzes erkennen. Die zweite Arbeit behandelt die Frage, unter welchen Umständen eine rationale Primzahl \(p\) existiren kann von der Art, dass die Function \(U\) für alle ganzen rationalen Werte von \(u_1\), ..., \(u_n\) durch \(p\) teilbare Zahlen darstellt. Ist \(\Delta\) die Discriminante einer beliebigen Zahl des Körpers, so heisst \(\frac{\Delta}D\) der ausserwesentliche Teiler der Discriminante \(\Delta\), und es wäre somit in dem so eben charakterisirten Falle die rationale Primzahl \(p\) ein allen ausserwesentlichen Discriminantenteilern gemeinsamer Factor. Der Verfasser leitet zunächst einen von Hrn. Dedekind gegebenen, auf solche Factoren \(p\) bezüglichen Satz ab. Ferner stellt er in verschiedener Form notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz eines Factors \(p\) der fraglichen Beschaffenheit auf und bestätigt endlich eine von Kronecker herrührende Behauptung, der zufolge die Function \(U\) stets Zahlen ohne gemeinsamen Teiler darstellt, sobald man für \(u_1\), ..., \(u_n\) die sämtlichen ganzen Zahlen eines geeignet gewählten Bereiches einsetzt.