Sulla separazione delle radici delle equazioni mediante il calcolo delle differenze. I. II. (Q1523268)

Die Arbeit verallgemeinert den Budan'schen (Fourier'schen) Satz in der Richtung, dass an Stelle der aufeinander folgenden Differentialquotienten die den endlichen Werten des Zuwachses \(h\) des Arguments \(x\) entsprechenden Quotienten \[ \left(f_h'(x) = \frac{f(x+h)-f(x)}h,\,f_h''(x) = \frac{f_h'(x+h)- f_h'(x)}h \text{ etc.}\right) \] treten, und führt zu dem Resultat, dass die Zahl der Zeichenwechsel in der Reihe \(f(x)\), \(f_h'(x)\), \(f_h''(x)\), ..., \(f_h^{(n)}(x)\), wo \(n\) den Grad der Gleichung \(f(x)=0\) bezeichnet, für einen negativen Wert von \(h\) auch jetzt noch eine obere Grenze für die Anzahl derjenigen Wurzeln ist, die grösser sind als \(x\), für einen positiven Wert von \(h\) dagegen eine obere Grenze für die Anzahl der Wurzeln, die grösser sind als \(x+(n-1)h\). Der Beweis lässt sich ähnlich führen wie der des Budan'schen Satzes, wenn man nur \(f(x)\) nicht nach Potenzen von \(x\) entwickelt, sondern als lineares Aggregat von Ausdrücken der Form \[ x(x-h)(x-2h)\dots(x-\overline{\mu-1}h) \] darstellt. In der zweiten Note wird gezeigt, dass die Zahl der Zeichenwechsel in der Reihe \(f(x)\), \(f_h'(x)\), ..., \(f_h^{(n)}(x)\) mit wachsendem \(x\) nicht zunehmen und mit abnehmendem \(x\) nicht geringer werden kann, und aus diesem Ergebnis wird ein Schluss gezogen auf die Anzahl der reellen Wurzeln von \(f(x)=0\) in einem beliebigen Intervalle \((a\dots b)\).