On the indivisible dividers of \(x^n 1\). (Q1523320)

Beweis, dass die folgende Function eine Primfunction ist: \[ F = \frac{(x^n-1)\prod(x^{n:pq}-1)\dots}{\prod(x^{n:p}-1)\prod(x^{n:pqr}- 1)\dots}, \] wo \(n\) eine beliebige ganze Zahl ist und \(p\), \(q\), \(r\) die Primfactoren derselben sind. Den Ausgangspunkt bildet der Satz, dass jede der Functionen \(x^n-1\) \((n=1,2,\dots)\) einen einzigen Primfactor \(V_n\) enthält, der nicht in einer der vorhergehenden Functionen \[ x-1,\,x^2-1,\,\dots,\,x^{n-1}-1 \] vorhanden ist, und dass sämtliche Primfactoren \(V_i\), für welche \(i\) einem Factor von \(n\) gleich ist, gerade die Function \(x^n-1\) als Product ergeben. Sodann wird bewiesen, dass die allgemeine Gestalt der Primfactoren \(V_n\) mit der oben erwähnten Function \(F\) zusammenfällt, wenn unter \(\prod(x^{n:pqr}-1)\) z. B. das Product derjenigen Factoren verstanden wird, welche man erhält, indem man im Exponenten der Variable \(x\) für \(pqr\) jedes der \(\frac{m(m-1)(m-2)}{1.2.3}\) Producte von je drei der \(m\) Primfactoren \(p\), \(q\), \(r\) ... von \(n\) wählt. Der Beweis, dass \(V_n\) nicht zerlegt werden kann, beruht auf dem Hülfssatz: Wenn in der ganzen Function mit ganzen Coefficienten \[ U = x^m - a_1x^{m-1} + a_2x^{m-2} +\cdots+ (-1)^ma_m \] \(x\) nach einander durch \[ \alpha_1\root{p^a}\of x,\,\alpha_2\root{p^a}\of x,\,\dots,\, \alpha_{p^a}\root{p^a}\of x \] ersetzt wird, wo \(p\) eine Primzahl und \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), ..., \(\alpha_{p^a}\) die \(p^{\text{ten}}\) Einheitswurzeln sind, so ist das Product der dadurch erhaltenen Resultate gleich \(\pm U+\) einem Vielfachen von \(p\). Sind nun \(V_1\), \(V_2\), ..., \(V_{n-1}\) sämtlich Primfunctionen, so kann indirect bewiesen werden, dass dasselbe von \(V_n\) gilt. Schliesslich wird gezeigt, dass die Wurzeln der Gleichung \(V_n=0\) die primitiven \(n^{\text{ten}}\) Einheitswurzeln sind.