Ueber Transformationen von Differentialgleichungen. (Q1523343)

Ist \(x\) die unabhängige, \(y\) die abhängige Variable einer linearen homogenen Differentialgleichung \(m^{\text{ter}}\) Ordnung \(D(y)=0\), so geht bekanntlich vermöge der Transformation \(T:x=f(\xi)\), \(y=g(\xi)\eta\), wo \(f\), \(g\) willkürliche Functionen von \(\xi\) sind, die Gleichung \(D(y)=0\) in eine Gleichung \(\Delta(\eta)=0\) derselben Form über. ,,Differentialinvariante'' von \(D(y)\) ist ein aus den Coefficienten von \(D\) gebildeter Ausdruck, der \(T\) gegenüber (bis auf einen nur von der Transformation abhängigen Factor) invariant bleibt. Es wird bewiesen, dass --- die Allgemeinheit der Coefficienten von \(D\) vorausgesetzt --- die Transformationen \(T\) die einzigen sind, welche die Form der Gleichung unverändert lassen. Ein abweichendes Verhalten zeigt nur der Fall \(m=1\). Das Resultat lässt sich auf beliebige algebraische homogene Differentialgleichungen (in \(x\), \(y\)) übertragen. Damit ist nicht nur eine genauere Definition der ,,Differentialinvariante'' gewonnen, sondern auch gezeigt, wie sich dieser fundamentale Begriff naturgemäss ausdehnen lässt.