Ueber einen Satz von Hilbert. (Q1523354)

Herr Hilbert hat bewiesen, dass eine algebraische Form \(f\) ein endliches System von Invarianten besitzt, von denen alle übrigen ganz und rational abhängen. Der Kern des Beweises besteht darin, dass es für eine Form \(f\) stets eine endliche Anzahl von Invarianten \(\varphi_1\), \(\varphi_2\), ... giebt, so dass jede weitere Invariante \(\Phi\) die Form gesetzt werden kann: \[ \Phi = A_1\varphi_1 + A_2\varphi_2 +\cdots, \] wo die \(A\) ganze rationale Functionen der Coefficienten von \(f\) sind. Hierfür liefert Herr Gordan einen neuen, scharfsinnigen Beweis, der zugleich lehrt, wie eine obere Grenze für die Anzahl der \(\varphi\) gefunden werden kann, und der auch über die Eigenschaften der \(\varphi\) näheren Aufschluss giebt. Der Beweis beruht darauf, dass für die \(\varphi\) Normalformen hergestellt werden können, welche durch rein arithmetische Merkmale charakterisirbar sind. Zur Aufstellung solcher Normalformen und ihrer eventuellen Reduction auf einander bietet der Aronhold'sche Process eine sehr brauchbare Handhabe; es wird insbesondere aus dem Umstande Vorteil gezogen, dass nach genügend oftmaliger Wiederholung des Processes ein identisch verschwindendes Resultat folgt.