Ueber die Bildung der Eliminanten eines Systems algebraischer Gleichungen. (Q1523400)

Die Resultante von drei oder mehr Gleichungen verschiedener Grade lässt sich bekanntlich mit Hülfe der dialytischen Eliminationsmethode nicht in Form einer einzigen Determinante, sondern nur als Quotient zweier darstellen. Schon Cayley hat den Grund klargelegt, weshalb die nach der dialytischen Methode gebildete Determinante einen fremden Factor enthält, und hat gleichzeitig gelehrt, wie man sich von ihm frei machen kann (Cambridge and Dublin Math. Journal III. 116). Auf einem anderen Wege erreicht Hr. Biermann dasselbe Ziel. Durch Einführung einer Grösse \(u\), welche für alle gemeinsamen Wertsysteme \((x_1,\dots,x_{n-1})\) der \((n-1)\) ersten Gleichungen dieselben Werte annimmt wie die linke Seite der letzten Gleichung (wobei \(x_1\), ..., \(x_{n-1}\) als Functionen von \(x_n\) betrachtet werden), kommt er zu einer Determinante, welche eine ganze rationale Function von \(u\) ist, für \(u=0\) in die gewöhnlich angegebene Determinante übergeht, zugleich aber auch in dem Coefficienten der höchsten Potenz von \(u\) den Factor liefert, von dem die Determinante noch zu befreien ist.