Die Gruppen der Ordnungen \(p^3\), \(pq^2\), \(pqr\), \(p^4\). (Q1523421)

Es werden alle möglichen Gruppen der genannten Ordnungszahlen für primzahlige Werte von \(p\), \(q\), \(r\) aufgestellt. Die Gruppen werden dabei abstract gedacht, indem holoedrisch isomorphe Gruppen nicht als verschieden gelten, und zumeist durch definirende Relationen im Sinne des Hrn. Dyck dargestellt. Die Beweise stützen sich zunächst auf die Sylow'schen Sätze (Math. Ann. V, JFM 04.0056.02), die für die Ordnungszahlen \(p^2\) und \(pq\) ausreichen; für zusammengesetztere Ordnungszahlen wird im II. Abschnitt (S. 313 ff.) ein systematisches Verfahren entwickelt, um zusammengesetzte Gruppen aus ihren Factorgruppen aufzubauen; zwei besondere Fälle dieses Verfahrens (S. 329 und 334) reichen für den vorliegenden Zweck aus. Man erhält durch dasselbe zunächst die definirenden Relationen in einer Gestalt, in der noch unbestimmte Exponenten auftreten; und für jede einzelne Kategorie von Gruppen wird besonders untersucht, welche Werte diese Exponenten haben dürfen, wenn die Gruppe die verlangten Eigenschaften haben soll, und wann etwa verschiedene Werte dieser Exponenten identische Gruppen liefern. In einem Fall (S. 350 ff.) wird dazu die Theorie der Galois'schen Imaginären herbeigezogen. In einem Schlussparagraphen werden die gewonnenen Resultate zusammengestellt. Auf S. 341 und 398 finden sich nicht zerfallende Gruppen, von denen gezeigt wird, dass sie nicht aus zweien ihrer Operationen erzeugt werden können, wofür noch kein Beispiel bekannt war.