Zur Theorie der \(2n\)-fach periodischen Functionen. (1. Abhandlung.). (Q1523468)

Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, dass zu den Perioden \(\omega_{\alpha\beta}\;\left(\begin{aligned} \alpha &=1,2,\dots,n\\ \beta &=1,2,\dots,2n\end{aligned}\right)\) eine eindeutige, \(2n\)-fach periodische Function \(f(u)\) der \(n\) Veränderhehen \(u_\alpha\) existire, die im Endlichen allenthalben den Charakter einer rationalen Function hat und nicht als Function von weniger als \(n\) linearen Verbindungen der \(u_\alpha\) darstellbar ist, sind bekanntlich die beiden folgenden: 1. Es ist \[ \sum_\beta\sum_\gamma c_{\beta\gamma}\omega_{\lambda\beta}\omega_{\mu\gamma} = 0\qquad(\lambda,\,\mu = 1, 2,\dots, n), \] wobei die \(c_{\beta\gamma}\) ganze Zahlen von der Beschaffenheit sind, dass \(c_{\gamma\beta}=-c_{\beta\gamma}\) und die Determinante \(|c_{\beta\gamma}|\neq0\) ist. 2. Zerlegt man die \(\omega_{\alpha\beta}\) in ihre reellen und lateralen Teile: \(\omega_{\alpha\beta}=\eta_{2\alpha-1,\beta} + i\eta_{2\alpha,\beta}\), so bestehen die Ungleichungen: \[ \sum_\beta\sum_\gamma c_{\beta\gamma} \eta_{2\lambda-1,\beta}\eta_{2\lambda,\gamma} > 0\qquad(\lambda=1,2,\dots,n). \] Für diesen fundamentalen Satz, aus dem sich dann unmittelbar ergiebt, dass die allgemeinste \(2n\)-fach periodische Function der genannten Art rational durch geeignete Thetafunctionen darstellbar ist, giebt der Verf. einen neuen Beweis, indem er die Construction einer Riemann'schen Fläche \(F\) angiebt, auf welcher die \(u_\alpha\) Integrale erster Gattung sind, die beim Ueberschreiten der Querschnitte sich um homogene lineare Functionen der \(\omega_{\alpha\beta}\) mit ganzzahligen Coefficienten ändern. Die beiden oben angeschriebenen Bedingungen für die \(\omega_{\alpha\beta}\) folgen dann aus den bekannten Riemann'schen Beziehungen zwischen den Periodicitätsmoduln der Integrale erster Gattung. Der Verf. zeigt ferner, dass die sämtlichen Functionen \(f(u)\) algebraische Functionen von \(n\) unabhängigen Variabeln sind, und dass in Folge dessen zwischen \(n+1\) unter ihnen eine algebraische Gleichung besteht, und endlich, dass durch ein System von \(n+1\) passend gewählten Functionen \(f(u)\) alle anderen rational ausgedrückt werden können. Besitzt eine Function \(f(u)\) die \(\omega_{\alpha\beta}\) als primitive Perioden, so bildet sie zusammen mit ihren \(n\) partiellen Derivirten ein solches System von \(n+1\) Fundamentalfunctionen.