Die Grundgebilde der ebenen Geometrie. (Q1523657)

Die erstgenannte Abhandlung (siehe JFM 26.0597.05) besteht aus den ersten XXV Seiten der Vorrede des zweiten Werkes. Der Verf. schildert, wie nach seiner Meinung aus den uns umgebenden Eindrücken die Vorstellungen der Geraden, Ebenen und Punkte, sowie die der Flächen im allgemeinen entstanden sind. Für die Untersuchung der Flächen scheint der Verfasser, wenn ich ihn recht verstehe, später eine der Grassmann'schen verwandte Untersuchungsmethode einschlagen zu wollen. Ein beweglicher Punkt soll mit anderen durch eine Folge linearer Constructionen verknüpft sein und eine Fläche dadurch beschreiben, dass vier der abhängigen Punkte gezwungen werden, auf einer Ebene zu bleiben. Andererseits soll der Flächenpunkt als transcendenter Punkt definirt werden, der sich als Grenzlage durch unendlich viele lineare Constructionen aus einem beweglichen und anderen festen Punkten ergiebt. Wie der Verfasser sich die wirkliche Ausführung seines Programms denkt, wird aus dem vorliegenden starken Bande nicht klar; derselbe enthält lediglich eine substitutionentheoretische Studie über das System \(\mathfrak P_n\) von \(n\) Punkten der Ebene. Mit Rücksicht hierauf erscheint die absprechende Art sehr unmotivirt, mit welcher der Verfasser ungefähr alle Bestrebungen auf dem Gebiete der reinen Geometrie, so weit sie sich auf algebraische Gebilde im allgemeinen beziehen, beurteilt. Ich kann nicht übersehen, wie bei dem Standpunkte des Verfassers eine irgendwie einfachere Behandlung der einschlägigen Fragen erzielt werden könnte. Unter der Charakteristik \(c(\mathfrak p_i \mathfrak p_k \mathfrak p_l)\) dreier Punkte versteht man die Zahl \(+1\), \(-1\), 0, je nachdem bei einem Umlauf über den Umfang des Dreiecks das Innere zur Linken oder zur Rechten einer stets zu einer Seite der Ebene gedachten Person liegt, oder endlich die drei Punkte in einer Geraden liegen. Durch den Verein seiner Charakteristiken ist zunächst ein Punktsystem \(\mathfrak P_n\) unzweideutig bestimmt. Dreht man um einen der \(n\) Punkte \(\mathfrak p_i\) einen Strahl in der positiven oder negativen Richtung und schreibt die Punkte in der Reihenfolge auf, wie sie von dem Strahl erreicht werden, so entsteht das eine oder andere Ortszeichen des Punktes \[ {}'J(\mathfrak p_i) = \mathfrak p_1^{(i)},\mathfrak p_2^{(i)},\dots,(\mathfrak p_a^{(i)},\dots,\mathfrak p_b^{(i)}),\dots,\mathfrak p_{n-1}^{(i)}\text{ oder} \] \[ J'(\mathfrak p_i) = \mathfrak p_1^{(i)},\mathfrak p_{n-1}^{(i)},\dots,(\mathfrak p_b^{(i)},\dots,\mathfrak p_a^{(i)}),\dots,\mathfrak p_2^{(i)}; \] liegen auf einzelnen von \(\mathfrak p_i\) ausgehenden Geraden mehrere Punkte, so wird dies am Ortszeichen durch Einklammern bemerkbar gemacht. Das Ortszeichen eines Punktes kann unzweideutig aus den Charakteristiken, die er mit den noch möglichen \(\frac{(n-1)(n-2)}2\) Punktepaaren bildet, abgeleitet werden. Kennt man umgekehrt die Ortszeichen von vier Punkten \(\mathfrak p_i\), \(\mathfrak p_k\), \(\mathfrak p_l\), \(\mathfrak p_m\), so lässt sich allein aus der Art, in der je drei von den Punkten in dem positiven Ortszeichen des anderen einander folgen, \(c(\mathfrak p_i \mathfrak p_k \mathfrak p_l)\) ableiten. Zerlegt man \(\mathfrak P_n\) durch eine Gerade \(g\) in zwei Teilgruppen, schlingt um jede von beiden einen möglichst zusammengezogenen Faden, legt an die so entstandenen Polygone die gemeinschaftlichen inneren Tangenten, so begrenzen diese letzteren zusammen mit den ihnen zugekehrten Teilen der Polygone eine Elementarfläche, die \(g\) nicht verlassen kann, ohne einen der Punkte von \(\mathfrak P_n\) zu treffen. Die einer Ecke des Polygons benachbarten Ecken folgen einander in dem einen ihrer Ortszeichen; das Vorzeichen desselben, ebenso wie das der Charakteristik aus drei auf einander folgenden Punkten des Polygons, wechselt beim Durchlaufen desselben zweimal. Jede Gerade \(g\) trifft die Umgrenzung einer Elementarfläche, der sie nicht angehört, in zwei Punkten. Beim Durchschreiten einer der \(m_i\) Geraden, welche \(i\) Punkte von \(\mathfrak P_n\) enthalten, soll, wie Herr Eberhard behauptet, ein Punkt aus \(i\) Elementargebieten in \(i\) andere übergehen. hieraus folgt die Anzahl der Elementarflächen: \[ \sigma = 1 + \sum(i-1)m_i. \] Ist \(x_i\) die Anzahl der elementaren \(i\)-Ecke, so besteht die Gleichung: \[ x_3 - x_5 - 2x_6 - 3x_7 -\cdots= 4 + \sum_{i=2}^n(n-2)m_i. \] Der Index eines Punktes \(\mathfrak p_n\) kann bis auf das Vorzeichen aus denen der \((n-1)\) übrigen Punkte abgeleitet werden. Jede Seite \(\mathfrak p_n\mathfrak p_1\), \(\mathfrak p_n\mathfrak p_2\), ..., \(\mathfrak p_n\mathfrak p_{n-1}\) gehört nach dem Obigen zu zwei Elementarflächen, deren Eckpunkte man mit Hülfe von \(J(\mathfrak p_1)\), \(J(\mathfrak p_2)\), \(J(\mathfrak p_{n-1})\) und den aus ihnen folgenden Charakteristiken der Punkte \(\mathfrak p_1\), \(\mathfrak p_21\), ..., \(\mathfrak p_{n-1}\) gegen einander ableiten kann. Jede derselben giebt aber zwei Nachbarpunkte in dem Index von \(\mathfrak p_n\). Dieser Satz erfährt im \S\ 4 mehrfache Beweise. Zur eigentlichen Ermittelung des Index dient vielfach der Satz: Sind \(\mathfrak p_k\) und \(\mathfrak p_l\) in dem Index von \(\mathfrak p_i\) benachbart, so sind in \(J(\mathfrak p_k)\) zwischen \(\mathfrak p_i\) und \(\mathfrak p_l\) dieselben Elemente eingeschaltet, wie im Index \(J(\mathfrak p_l)\) zwischen \(\mathfrak p_i\) und \(\mathfrak p_k\). Unter den Elementarflächen sind die Dreiecke, die Fundamentaltripel besonders hervorzuheben. Je zwei Ecken derselben sind im Index der dritten Ecke benachbart, oder die \(n-3\) anderen Punkte liegen in einem der vier einfachen Dreiecke, die sich aus den drei Punkten bilden lassen. Erst wenn dieses Dreieck [\(\mathfrak p_i(\mathfrak p_k\mathfrak p_l)\) oder \((\mathfrak p_i\mathfrak p_k\mathfrak p_l)_\infty\)] und die Charakteristik des Tripels bekannt sind, kann es als vollständig gegeben betrachtet werden. In jedem Punkte stossen wenigstens drei und, je nachdem \(n\) gerade oder ungerade ist, höchstens \(n-2\), bez. \(n-1\) Fundamentaltripel zusammen. Die Anzahl der Fundamentaltripel schwankt zwischen \(n\) und \(\frac13n(n-2)\) bez. \(\frac13n(n-1)\). Zwei Elemente heissen mit einander verkettet, wenn sie erstes und letztes Glied einer Reihe sind, in der je zwei auf einander folgende Elemente zu einem Tripel gehören. Die Frage, ob jedes Element von \(\mathfrak P_n\) mit einem gegebenen verkettet ist, wird genau untersucht. Zwei lineal unabhängige Gruppen von \(m\) und \(n-m\) Punkten sind stets durch wenigstens drei Fundamentaltripel verbunden. Die Fundamentalreihe \(\mathfrak p_1'\), \(\mathfrak p_2'\), ..., \(\mathfrak p_m'\) eines Punktes \(\mathfrak p\) wird dadurch bestimmt, dass \(\mathfrak p_{i+1}'\) und \(\mathfrak p_{i-1}'\) in \(J(\mathfrak p_i)\) benachbart sind, ausserdem \(\mathfrak p_{i-2}'\) und \(\mathfrak p_{i+1}'\) durch \(\mathfrak p_i'\) und \(\mathfrak p_{i-1}'\) getrennt sind. Diese Reihe findet dadurch ihren Abschluss, dass das \((m+1)^{\text{te}}\) Element mit dem \((m-1)^{\text{ten}}\) zusammenfällt. \(\mathfrak p_1\), \(\mathfrak p_{m-1}\), \(\mathfrak p_m\) bilden dann ein Fundamentaltripel. In einer solchen Fundamentalreihe ist der Index eines beliebigen Elementes in Bezug auf die anderen Elemente gegeben. Unter der Voraussetzung, dass alle übrigen Elemente in die Fundamentalreihe von \(\mathfrak p_1\) sich einordnen, werden die Indices sämtlicher Punkte aufgestellt. Die genaue Erörterung der Punktysteme \(\mathfrak P_5\) und \(\mathfrak P_6\) bildet den Inhalt der \S\S\ 7 bis 10. Die folgenden Paragraphen bieten umfangreiche Erörterungen über die Frage, in wie weit ein formal gegebenes Indexsystem durch ein \(\mathfrak P_n\) realisirt werden kann. Der Nachweis, dass dies der Fall ist, sobald das Indexsystem den oben entwickelten Bedingungen genügt, soll auf den zweiten Band des Werkes verschoben werden. Vorbereitungen hierzu bieten das Theorem 12, nach dem aus einem realisirbaren Indexsystem sich noch eben so viele andere realisirbare ergeben, als eine in der Ebene von \(\mathfrak P_n\) bewegte Gerade wesentlich verschiedene Lagen annehmen kann, und das Theorem 15, nach dem zwei inäquivalente in allen ihren Elementenquadrupeln geometrisch-deutige Indexsysteme durch eine wohlbestimmte Reihe von Inversionen von Fundamentaitripeln in einander übergeführt werden können. Inversion ist hierbei die Verwandlung des Dreiecks in ein solches von entgegengesetzter Charakteristik. In den beiden letzten Paragraphen endlich wird gezeigt, dass das Indexsystem durch die Gruppe seiner wohl definirten, auch hinsichtlich der Charakteristiken und Hauptelemente bekannten Fundamentaltripel vollständig gegeben ist. Ein Anhang endlich ist den ebenen Geradensystemen und den aus Punkten und Geraden gemischten Systemen gewidmet.