Wann hat eine durch neun Punkte gegebene Curve dritter Ordnung einen Doppelpunkt? (Q1523704)

Die durch neun Punkte \(N_1\), ..., \(N_9\) bestimmte Curve dritter Ordnung hat mit den durch \(N_1\), ..., \(N_4\) gehenden Kegelschnitten Punktepaare gemein, deren Verbindungslinien durch den diesem Punktequadrupel gegenüberliegenden Punkt \(N_{1234}\) von \(C^3\) gehen. Wird jedem dieser Kegelschnitte derjenige Strahl als entsprechend zugewiesen, der ihn in einem Punktepaare von \(C^3\) schneidet, so ist der Kegelschnittbüschel \((N_1 N_2 N_3 N_4)\) auf den Strahlenbüschel \(N_{1234}\) projectiv bezogen. Die Polaren von \(N_{1234}\) bezüglich der Kegelschnitte des Büschels \((N_1 N_2 N_3 N_4)\) gehen durch den \(N_{1234}\) bezüglich des Büschels conjugirten Punkt \(N_{1234}'\); der von ihnen gebildete Strahlenbüschel ist projectiv zum Kegelschnittbüschel und erzeugt mit ihm eine Curve dritter Ordnung \(\Gamma^3\), die mit \(C^3\) ausser den Punkten \(N_1\), \(N_2\), \(N_3\), \(N_4\) noch diejenigen Punkte gemein hat, in denen die von \(N_{1234}\) ausgehenden Tangenten \(C^3\) berühren. Aus diesen bekannten Sätzen folgt: Liegen dem Quadrupel \(N_{1234}\), \(N_1\), \(N_2\), \(N_3\) auf \(C^3\) und \(\Gamma^3\) die Punkte \(N_{1234}^{''}\) und \(N_{1234}'\) gegenüber, so kann der durch dieses Quadrupel bestimmte Kegelschnittbüschel auf die beiden Strahlenbüschel \(N_{1234}^{''}\) und \(N_{1234}'\) derart projectiv bezogen werden, dass sie mit ihm je die Curven \(C^3\) und \(\Gamma^3\) und mit einander den Kegelschnitt \(k'\) erzeugen. \(k'\) geht durch die Berührungspunkte der von \(N_{1234}\) an \(C^3\) gelegten Tangenten und schneidet in ihnen die erste Polare \(k\) von \(N_{1234}\) bezüglich \(C^3\). Nur wenn \(k\) und \(k'\) sich berühren, hat \(C^3\) einen Doppelpunkt.