Ueber gewisse Flächen vierter Ordnung (Isogonalflächen). (Q1523964)

Sind in der Ebene zwei Punkte \(P_1\) und \(P_2\) gegeben, so ist der geometrische Ort jener Punkte, deren Verbindungslinien mit \(P_1\) und \(P_2\) unter einander einen constanten Winkel einschliessen, bekanntlich ein System von zwei Kreisen, das auch als eine Curve vierter Ordnung betrachtet und Isogonalcurve der Punkte \(P_1\) und \(P_2\) für den Winkel \(\varphi\) genannt werden kann. Dieses Problem kann in folgender Weise auf den Raum ausgedehnt werden. 1) Den Ort jener Punkte \(P\) zu bestimmen, deren Verbindungslinien mit zwei festen Punkten \(P_1\) und \(P_2\) einen constanten Winkel \(\varphi\) einschliessen: Isogonalfläche jener Punkte für den Winkel \(\varphi\), \(J_\varphi(P_1,P_2)\). 2) Den Ort der Punkte \(P\) zu bestimmen, in welchen sich eine durch eine feste Gerade \(g\) gehende Ebene und ein durch einen festen Punkt \(A\) laufender Strahl unter constantem Winkel schneiden: Isogonalfläche der Geraden \(g\) und des Punktes \(A\) für den Winkel \(\varphi\), \(J_\varphi(g,A)\). 3) Den Ort des Punktes zu bestimmen, welcher die Eigenschaft hat, dass die von ihm mit zwei festen Geraden \(g_1\) und \(g_2\) bestimmten Ebenen sich unter constantem Winkel \(\varphi\) schneiden: Isogonalfläche der beiden Geraden für den Winkel \(\varphi\), \(J_\varphi(g_1,g_2)\). Diese drei Flächengattungen werden synthetisch und analytisch untersucht. \(J_\varphi(P_1,P_2)\) ist natürlich eine durch Rotation des Kreises, welcher die ebene Aufgabe löst, entstehende Fläche vierter Ordnung und bietet nichts Besonderes. \(J_\varphi(g,A)\) ist eine Fläche der gleichen Ordnung, die in \(A\) einen singulären Punkt und in \(g\) eine Doppelgerade hat. Die \(J_\varphi(g_1,g_2)\) endlich besteht aus sämtlichen Tangentenpaaren, die von \(g_2\) an die aus \(J_\varphi(g_1,A_2)\) von dem Ebenenbüschel \(g_1\) (oder was dasselbe ist, die von \(g_1\) an die \(J_\varphi(g_2,A_1)\) von dem Ebenenbüschel \(g_2\)) ausgeschnittenen Kreise gelegt werden können. Dabei sind \(A_1\) und \(A_2\) die Endpunkte der kürzesten Entfernung der Geraden \(g_1\) und \(g_2\). Die Fläche ist eine Regelfläche vierter Ordnung, deren Gestalt variirt, je nachdem der Winkel der beiden Geraden \(\alpha\lesseqqgtr\varphi\) ist. Im ersten Falle besteht sie aus zwei in sich geschlossenen Mänteln, welche sich in \(g_1\) und \(g_2\) durchsetzen, im Falle \(\alpha>\varphi\) enthält sie einen einzigen Mantel, der sich längs der Geraden \(g_1\) und \(g_2\) selbst durchsetzt, welche jedoch nicht in ihrer ganzen Ausdehnung der Fläche reell angehören. Im Grenzfalle \(\alpha=\varphi\) tritt \(A_1A_2\) als Doppelerzeugende auf, und die Fläche besteht aus einem einzigen Mantel, der sich in \(A_1A_2\) und in \(g_1\) und \(g_2\) durchsetzt. Die letzteren Geraden gehören wieder ihrer ganzen Ausdehnung nach reell der Fläche an. Einen speciellen Fall bildet der Isogonalkegel, der entsteht, wenn die beiden Geraden \(g_1\) und \(g_2\) sich schneiden. Dieser Isogonalkegel wird benutzt, um die Aufgabe zu lösen: ``einen ebenen Strahlenbüschel, welcher durch drei Strahlen \(a\), \(b\), \(c\) gegeben ist, mit einem Ebenenbüschel \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) perspectivisch zu legen'', eine Aufgabe, deren Behandlung zur vorstehenden Abhandlung den Anstoss gegeben hat.