Allgemeine Untersuchungen über das Newton'sche Princip der Fernwirkungen, mit besonderer Rücksicht auf die elektrischen Wirkungen. (Q1524224)

Während in der neueren Zeit von vielen Seiten her versucht worden ist, die Newton'sche Gravitation aus allgemeineren Ursachen zu erklären und ausserdem ihre zeitliche Ausbreitung nachzuweisen gegenüber der Annahme einer unvermittelten und momentanen Fortpflanzung in die Ferne, steckt sich das vorliegende Buch ein ganz anderes Ziel: es hält das Princip der Fernwirkungen fest, weil bisher noch kein anderes an seine Stelle hat gesetzt werden können; dagegen sucht der Verf. die Form des Newton'schen Gesetzes abzuwandeln und spürt solchen Gestalten des Gesetzes nach, welche gewisse, nicht recht annehmbare Folgerungen des Newton'schen Gesetzes beseitigen, aber auch nicht mit bekannten Erscheinungen in Widerspruch geraten. Zur Prüfung des zu formulirenden Gesetzes werden als solche Erscheinungen die der Elektrostatik herbeigezogen. Gegen das Newton'sche Gesetz wird angeführt, dass die auf Grund desselben construirte Poisson'sche Theorie der Elektrostatik zu unendlich dünnen elektrischen Schichten führe, was man mit Misstrauen anzusehen habe. Als ein zur Richtschnur dienendes Princip oder Axiom wird dann die Existenz des elektrostatischen Gleichgewichts für jedes beliebige System elektrisch geladener Conductoren angenommen; dieses Princip bildet geradezu den Grundgedanken des Werkes, an welchem die möglichen Formen des Potentialgesetzes geprüft werden. Statt nämlich das Newton'sche Kraftgesetz \(\fracwithdelims()1{r^2}\) selbst zu untersuchen, erstreckt der Verf. seine Forschung auf das Potentialgesetz \(\varphi(r)\), aus welchem das Kraftgesetz durch Differentiation nach der Entfernung \(r\) der auf einander wirkenden Punkte folgt. Die erste Entdeckung nun ist die, dass das Potentialgesetz: \[ \varphi(r) = \frac{1-e^{-\alpha r}}r, \] welches für ein positives, sehr gross gewähltes \(\alpha\) dem Newton'schen Potentialgesetz \(\frac1r\) beliebig nahe gebracht werden kann, die Elektricität in einem elektrisch geladenen Leiter nie zur Ruhe kommen lässt, also gegen das angenommene Axiom verstösst. Die weitere Untersuchung lehrt dann erkennen, dass das elektrische Gleichgewicht nur zu Stande kommt, wenn \(\varphi(r)\) die Gestalt hat: \[ \varphi(r) = \frac Ar e^{-\alpha r} + \frac Br e^{-\beta r} + \frac Cr e^{-\gamma r} +\cdots, \] welche Form das ``Exponentialgesetz'' genannt wird. Umgekehrt ergiebt sich aus der Annahme jenes Exponentialgesetzes die Existenz eines elektrischen Gleichgewichtszustandes, falls die Constanten \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), ... alle positiv sind und die Constanten \(A\), \(B\), \(C\), ... alle dasselbe Vorzeichen haben (vergl. F. d. M. XXV. 1893/94. 1532, JFM 25.1532.01). Nach Feststellung dieser Existenz (Cap. 3), die durch besonders feine Untersuchungen mit neuen mathematischen Hülfsmitteln bewerkstelligt wird, ermittelt der Verf. die nähere Beschaffenheit dieses Gleichgewichtszustandes dadurch, dass er die Eigenschaften des dem Exponentialgesetze entsprechenden Potentials erforscht. Hat \(\varphi(r)\) nur ein Glied \(\frac Ar e^{-\alpha r}\), so heisst das Potentialgesetz eingliedrig, bei zwei Gliedern zweigliedrig u. s. w. Den mathematischen Vorbereitungen zum Studium dieser neuen Potentiale wird ein ganzes Capitel (4) gewidmet, in welchem gewisse, in den Entwickelungen auftretende Functionen einer näheren Untersuchung unterworfen werden. Sodann wird ein besonderes Capitel (5) dem eingliedrigen Potentialgesetze eingeräumt, das folgende (6) dem mehrgliedrigen. Es ergiebt sich dabei unter anderem, dass bei Zugrundelegung des Exponentialgesetzes in der Elektrostatik wir nicht im Stande sind, die unendlich dünnen elektrischen Schichten zu beseitigen. Geht man aber zu dem Falle \(\varphi(r)=r^{p-2}\) \((0<p<1)\) über, der als Grenzfall aus dem Exponentialgesetze abgeleitet werden kann und schon von Green 1832 in der Abhandlung ``Mathematical investigations concerning the laws of the equilibrium of fluids'' erörtert worden ist, so wird die Theorie der Elektrostatik von jenen unendlich dünnen Schichten befreit. Nimmt man dabei für \(p\) eine Zahl, die nur sehr wenig kleiner als 1 ist, so wird die so entstehende neue Theorie von der gewöhnlichen nur äusserst wenig abweichen, mithin allen durch die Beobachtung gestellten Anforderungen vollkommen entsprechen. Die weiteren eleganten mathematischen Folgerungen dieses siebenten Capitels müssen wir hier übergehen. An die dargestellte, in sich fest zusammenhängende Gedankenreihe der ersten sieben Capitel werden im achten das Hamilton'sche Princip, das effective Potential und hiermit im Zusammenhange die Idee einer zeitlichen Transmission der Wirkungen in Betracht gezogen, und zwar als etwas Transcendentes (nicht weiter Erklärbares). Endlich wird im letzten Capitel die dem eingliedrigen Potentialgesetz entsprechende partielle Differentialgleichung \(\varDelta\psi=\alpha^2\psi\) zum Gegenstande einer Untersuchung gemacht, indem die Anwendbarkeit der vom Verf. ersonnenen functionentheoretischen Methode des arithmetischen Mittels auf diesen Fall gezeigt wird. Das Werk ist ein neuer Beweis von der Geschicklichkeit des verdienten Verf. in der Behandlung schwieriger Probleme aus der mathematischen Physik. Wie in allen seinen Schriften ist die Darstellung ein vollendetes Muster von Klarheit und Durchsichtigkeit. Die aufrichtige Selbstkritik tritt an verschiedenen Stellen zu Tage, wo auf Punkte der Beweisführung hingewiesen wird, die zwar selbstverständlich scheinen, bei strenger Prüfung jedoch angezweifelt werden könnten. Obwohl also die ganze Untersuchung eine rein theoretische ist über die möglichen Formen des Potentialgesetzes, so sind doch die Ergebnisse an sich höchst interessant, und die mathematische Behandlung erweist sich von durch gebildeter Schönheit und Eleganz.