A proposito di una nuova ricerca del prof. Carlo Neumann. (Q1524225)

In seiner Schrift ``Allgemeine Untersuchungen über das Newton'sche Princip der Fernwirkungen'' etc. (Leipzig, 1896; vergl. das vorangehende Referat, JFM 26.0893.02) hat Herr C. Neumann Kräfte untersucht, bei denen an Stelle des Newton'schen Potentials \(\frac1r\) die Function \[ \frac1r\cdot \sum Ae^{-\alpha r} \] tritt. Insbesondere hat Herr Neumann (Capitel 3, \S\ 8) gezeigt, welche Gleichung für Kräfte der genannten Art an Stelle der Poisson-Laplace'schen Gleichung tritt, und zwar nennt er diese Formel die ``Deltaformel''. Für diese Formel giebt Herr Beltrami in der vorliegenden Notiz einen neuen Beweis, der sich auf einen von ihm in einer früheren Arbeit (cf. F. d. M. XIX. 1887. 1191, JFM 19.1191.03) aufgestellten allgemeinen Satz stützt. Setzt man in dem im erwähnten Referate (S. 1192 oben) mitgeteilten Satze an Stelle der willkürlichen Function \(\psi(r)\) die Function \(\sum Ae^{-\alpha r}\) und beachtet, dass man diese als allgemeine Lösung einer linearen homogenen Differentialgleichung mit constanten Coefficienten ansehen kann, so ergiebt sich die Neumann'sche Deltaformel, und zwar für den allgemeinsten Fall, in dem die Summe aus \(n\) Gliedern besteht, während Neumann sich auf eine Summe von vier Gliedern beschränkt hatte. Es mag noch bemerkt werden, dass der erwähnte Beltrami'sche Satz seinerseits ein Specialfall eines noch allgemeineren Satzes ist, den Herr Beltrami in einer Arbeit mitgeteilt hat, über die F. d. M. XXIV. 1892. 983 (siehe JFM 24.0983.01) berichtet ist.