Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt. (Q1524580)

Auf eine Anregung aus der Technik hin beweist der Verfasser durch Bestimmung des Cauchy'schen Index einer rationalen Function (mittels Aufstellung einer quadratischen Form) den folgenden Satz: Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Gleichung \[ a_0x^n + a_1x^{n-1} +\cdots+ a_n = 0, \] in welcher der Coefficient \(a_0\) positiv vorausgesetzt wird, nur Wurzeln mit negativen reellen Bestandteilen besitzt, ist die, dass die Werte der Determinanten \[ \Delta_1 = a_1,\quad \Delta_2,\quad \Delta_3,\quad\dots,\quad \Delta_n \] sämtlich positiv sind, wo gesetzt ist \[ \Delta_\lambda = \begin{vmatrix} a_1&a_3&a_5&\hdots&a_{2\lambda-1}\\ a_0&a_2&a_4&\hdots&a_{2\lambda-2}\\ .&.&.&\hdots&.\\ .&.&.&\hdots&a_\lambda\end{vmatrix} \] mit der Massgabe, dass die Indices in der ersten Horizontalreihe immer um zwei Einheiten wachsen, in jeder Verticalreihe immer um eine Einheit abnehmen und \(a_\varkappa=0\) zu nehmen ist, wenn \(\varkappa\) negativ oder grösser als \(n\) wird.