Ueber die Newton'sche Näherungsmethode. (Q1524592)

Die Newton'sche Näherungsmethode besteht in der Darstellung einer Wurzel einer algebraischen Gleichung \(f(x)=0\) als Grenzwert einer Reihe von Grössen \[ c,\;c_1,\;c_2,\;\dots,\;c_\lambda,\;\dots, \] von denen jede aus der vorhergehenden durch die Formel \[ c_{\lambda+1} = c_\lambda - \frac{f(c_\lambda)}{f'(c_\lambda)} \] zu berechnen ist. Wie man den Anfangswert \(c\) zu wählen hat, damit \(\lim\limits_{(\lambda=\infty)} c_\lambda\) gegen eine Wurzel der Gleichung convergire, bedarf einer besonderen Untersuchung. --- Das Hauptresultat der vorliegenden Arbeit ist nun der Satz, dass, wenn die Wurzeln einer algebraischen Gleichung mit reellen Coefficienten so beschaffen sind, dass der reelle Bestandteil jeder der Grössen \(\frac{x_\nu}{x_1}\), wo \(x_1\) eine bestimmte Wurzel und \(x_\nu\) irgend eine andere, von \(x_1\) verschiedene Wurzel bezeichnet, positiv und nicht kleiner als 1 ist, als Anfangswert 0 genommen werden darf, und dass dann die Reihe der \(c_\lambda\) gegen die Wurzel \(x_1\) convergirt. Die Bedingung ist z. B. stets erfüllt, wenn alle Wurzeln reell und von gleichem Vorzeichen sind, und wenn unter \(x_1\) die numerisch kleinste Wurzel verstanden wird. Sind die Wurzeln sämtlich reell, ohne alle dasselbe Vorzeichen zu haben, so kann man die Newton'sche Entwickelung mit jedem reellen Werte \(c\) beginnen, dessen absoluter Betrag grösser als der aller Wurzeln ist, und man erhält auf diese Weise die grösste, resp. kleinste Wurzel der Gleichung.