Ueber binäre Formen und die Correlationen mehrdimensionaler Räume. (Q1524629)

Der Verfasser verfolgt den Zweck, die (allgemeinen und singulären) Collineationen und Correlationen im Raume \(R_n\) mit binären Hülfsmitteln zu untersuchen. Werden jene Transformationen auf eine feste ``Normcurve'' des Raumes bezogen, so kann man sie in die invariante Gestalt setzen: \[ A_0\varphi + (A_2\varphi)_1 +\cdots+ (A_{2i}\varphi)_i +\cdots+ (A_{2n}\varphi)_n = \varphi',\tag{1} \] worin \(\varphi\), \(\varphi'\) binäre Formen \(n^{\text{ter}}\) Ordnung und \(A_{2i}\) Formen \(2i^{\text{ter}}\) Ordnung bedeuten. Die binären Veränderlichen \(x_1\), \(x_2\) sind auf der Normcurve ausgebreitet, und die Formen \(\varphi\), \(\varphi'\) bestimmen Punkte oder Ebenen des Raumes. Eine solche Reihe: \(A_0\), \(A_2\), ..., \(A_{2n}\) heisst eine ``Formenleiter''. Einer zerfallenden Correlation entspricht eine ``Ueberschiebungsleiter'', d. h. eine aus den Ueberschiebungen \((\varphi\psi)_n\), \((\varphi\psi)_{n-1}\), ..., \((\varphi\psi)_0\) bestehende. Als das Grundproblem der Untersuchung tritt das folgende auf: ``Man soll eine Leiter linear aus Ueberschiebungsleitern einer Anzahl von Formenpaaren \(\varphi_i\), \(\psi_i\) ableiten''. Dieses Problem ordnet sich dem bekannten der Kanonisirung zweier Bilinearformen unter. Reducirt sich die linke Seite von (1) auf ein einziges Glied \((A_{2i}\varphi)_i\), so gelangt man zu dem von Hrn. Hilbert (F. d. M. XIX. 1887. 111, JFM 19.0111.01) eingehend behandelten Falle der Kanonisirung einer einzelnen Form \(A_{2i}\) zurück. Umgekehrt war es das Hauptziel des Verfassers, die Hilbert'schen Methoden und Resultate auf allgemeine Leitern auszudehnen. Es ist ihm das, unter ausgiebiger Verwendung der Geometrie der Normcurve, sowie andererseits der ``Gordan'schen Reihenentwickelungen'', derart gelungen, dass die Hilbert'schen Sätze zumeist nur einer geringen Modification bedürfen, um sogleich für den allgemeinen Fall zu gelten. Die auf der Normcurve zu studirenden Correspondenzen werden der binär-invarianten Behandlung besonders bequem zugänglich; zumal der wichtige Begriff der ``Wertigkeit'' hebt sich deutlich ab. Eine elegante Anwendung wird vom Vorhergehenden auf die zu (1) gehörigen ``Lamé'schen Formen \(n^{\text{ter}}\) Ordnung'' gemacht. Die grosse Anzahl neuer Bezeichnungen ist für den Leser nicht eben eine Erleichterung.