Bildung zusammengesetzter Gruppen. (Q1524647)

Will man die Gruppen bilden, die aus einer endlichen Zahl von Operationen bestehen, so kann man zuerst die einfachen Gruppen bestimmen und dann die zusammengesetzten Gruppen aus ihren einfachen Bestandteilen aufbauen. Der Aufbau einer zusammengesetzten Gruppe \(G\) wird durch eine Reihe der Zusammensetzung \(G\), \(H\), \(K\), \(L\), ..., 1 charakterisirt. Hier bedeutet z. B. \(K\) eine ausgezeichnete Untergruppe von \(H\), und es soll nicht möglich sein, eine von \(H\) und \(K\) verschiedene Gruppe zu finden, die \(K\) umfasst und in \(H\) ausgezeichnet enthalten ist, d. h. es soll \(K\) eine ausgezeichnete Maximaluntergruppe von \(G\) sein. So ist in der Reihe der Zusammensetzung jede Gruppe ausgezeichnete Maximaluntergruppe der vorhergehenden. Es sind nun durch die Reihe der Zusammensetzung gewisse Gruppen \(G/H\), \(H/K\), ... völlig bestimmt (vergl. Hölder, Math. Ann. XXXIV. 31 und C. Jordan, S. M. F. Bull. I. 1873. 46), welche Verf. als Factorgruppen von \(G\) bezeichnet. Trotzdem dieselbe Gruppe \(G\) mehrere Reihen der Zusammensetzung zulassen kann, so ist doch die Gesamtheit ihrer Factorgruppen eine völlig bestimmte. Man kann jetzt durch Umkehrung der so eben angestellten Betrachtung die Aufgabe formuliren, eine Gruppe zu bilden, welche gegebene Factorgruppen hat. Diese Aufgabe lässt vielfach mehrere Lösungen zu. Die Factorgruppen sind stets einfache Gruppen. Es genügt häufig, statt der Factorgruppen die Ordnungen derselben, also blosse Zahlen, anzugeben. Die Angabe dieser Zahlen leistet dasselbe wie die Angabe der Factorgruppen, wenn man weiss, dass jede dieser Zahlen nur einer einzigen einfachen Gruppe als Ordnung angehört. Die Ordnungen der Factorgruppen einer Gruppe \(G\) sind das, was Herr C. Jordan die Factoren der Zusammensetzung der Gruppe \(G\) nennt. Um nun die Gruppe \(G\) aus ihren Factorgruppen zu bilden, hat man die Reihe der Zusammensetzung von ihrem rechten Ende her zu construiren. Man hat dabei mehrmals das Problem zu lösen: ``eine Gruppe \(\Delta\) zu bilden, welche eine gegebene Gruppe \(\Gamma\) auf die Weise ausgezeichnet enthält, dass zugleich \(\Delta/\Gamma\) mit einer gegebenen Gruppe übereinstimmt''. Bei der Anwendung auf die Reihe der Zusammensetzung ist jedesmal \(\Delta/\Gamma\) eine einfache Gruppe. Die vorliegende Arbeit enthält nun die Lösung des eben genannten Problems für eine Reihe specieller Fälle, wobei \(\Delta/\Gamma\) die teils als einfache, teils als zusammengesetzte Gruppe angenommen ist. Es ist eine Einteilung des Ganzen in Abschnitte vorgenommen worden, so dass in jedem der Abschnitte, vom zweiten bis zum elften, eine andere Gruppe die Rolle der gegebenen Gruppe \(\Gamma\) spielt. Dabei wird \(\Gamma\) der Reihe nach angenommen als alternirende Gruppe, als Gruppe der Modulargleichung, cyklische Gruppe, nichtcyklische Gruppe der Ordnung \(p^2\), metacyklische Gruppe u. s. w. Es ist noch zu bemerken, dass die Gruppe \(\Delta/\Gamma\) einfach ist oder nicht, je nachdem die ausgezeichnete Untergruppe \(\Gamma\) der Gruppe \(\Delta\) ausgezeichnete Maximaluntergruppe ist oder nicht; die Ordnung der Gruppe \(\Delta/\Gamma\) ist zugleich der Index, welcher der Gruppe \(\Gamma\) als Untergruppe von \(\Delta\) zukommt. Wird nun etwa verlangt, dass \(\Gamma\) eine ausgezeichnete Maximaluntergruppe der Gruppe \(\Delta\) ist und den Index 60 besitzt, so heisst dies, dass \(\Delta/\Gamma\) einfach und von der \(60^{\text{sten}}\) Ordnung sein soll. Nun giebt es aber nur eine einfache Gruppe \(60^{\text{ster}}\) Ordnung, weshalb \(\Delta/\Gamma\) mit der Ikosaedergruppe übereinstimmen muss. So kann z. B. die Aufgabe, eine Gruppe zu bestimmen, welche eine cyklische Gruppe \(m^{\text{ter}}\) Ordnung als ausgezeichnete Maximaluntergruppe vom Index 60 enthält, auch so ausgedrückt werden: Es ist eine Gruppe \(\Delta\) zu bilden, die mit der Ikosaedergruppe so meroedrisch isomorph ist, dass jeder Operation von \(\Delta\) eine Operation der Ikosaedergruppe und der identischen Operation der letzteren eine cyklische Untergruppe \(m^{\text{ter}}\) Ordnung in der Gruppe \(\Delta\) entspricht. Diese Aufgabe ist im vierten Abschnitte von \S\ 13 bis \S\ 17 behandelt. Die Aufgabe der Bestimmung einer Gruppe aus ihren Factorgruppen konnte auch für verschiedene Fälle gelöst werden. Die Fälle, in denen die Factoren der Zusammensetzung zwei oder drei Primzahlen oder vier gleiche Primzahlen sind, sind bereits völlig erledigt (vergl. Netto, Substitutionentheorie (1882, JFM 14.0090.01) 133; Young, Cole and Glover, American J. XV; Hölder, Math. Ann. XLIII). Verf. giebt im letzten Abschnitt dieser Arbeit noch alle Gruppen, deren Factoren der Zusammensetzung in irgend einer Ordnung mit den Zahlensystemen \[ 60,p;\quad 168,p;\quad 60,p,p;\quad 60,p,q; \] \[ 168,p,p;\quad 168,p,q;\quad 60,60,2 \] übereinstimmen; dabei bedeuten \(p\) und \(q\) Primzahlen.