On a number theoretical theorem of Mr. Schubert. (Q1524737)

Ist \(a\) eine positive ganze Zahl und \(q=\frac mn\) (\(m\) und \(n\) relativ prim) ein positiver unechter Bruch, so mag \(F_q(a)\), wenn \(aq\) eine ganze Zahl ist, eben diese ganze Zahl, und wenn \(aq\) ein Bruch ist, die nächst grössere ganze Zahl bezeichnen. Dann lautet der betreffende Satz in der von Herrn Ahrens gegebenen allgemeinsten Fassung: ``Zu einem beliebigen unechten Bruch \(q=\frac mn\) lassen sich stets \(m-n\) Zahlen aus der Reihe 1, ..., \(m-1\) so auswählen, dass, wenn man mit diesen \(m-n\) Zahlen als Anfangsgliedern arithmetische Reihen von der Differenz \(m\) bildet und man auf alle Zahlen dieser \(m-n\) Reihen die Operation \(F_q\) anwendet, auf die hierdurch erhaltenen Zahlen wieder dieselbe Operation u. s. f., man jede Zahl einmal erhält, aber auch nur einmal.'' Der von Herrn Schubert (siehe JFM 26.0202.01) gegebene und von Herrn Busche (siehe JFM 26.0202.02) bewiesene Satz beschränkt sich auf den Fall \(m-n=1\).