On the number of classes of binary quadratic forms of a negative determinant (Q1524807)

Es bedeute \(h(D)\) die Anzahl der Klassen eigentlich primitiver binärer quadratischer Formen von der negativen Determinante \(-D\), ferner \(p\) eine Primzahl. Die Dirichlet'schen geschlossenen Ausdrücke für die Zahlen \(h(D)\) können durch Benutzung von \(\fracwithdelims()sp\equiv s^{\frac{p-1}2}\) (mod. \(p\)) zu den Entwickelungscoefficienten von Kreisfunctionen in Beziehung gebracht werden. Unter Beachtung noch, dass \(h(p)<p\) ist, ergiebt sich: Ist \(p\) eine Primzahl \(\equiv3\) (mod. 4), so ist \(h(p)\) der kleinste positive Rest (mod. \(p\)) von \((-1)^{\frac{p+1}4}\frac12 \frac{\alpha_{p+1}}4\), wenn sich \[ \tan x = \sum_1^\infty \alpha_h\frac{x^{2h+1}}{(2h+1)!} \] entwickelt. In entsprechenden Beziehungen stehen \(h(p)\) für \(p\equiv1\) (mod. 4), \(h(2p)\) für \(p\equiv3\) bez. 1 (mod. 4) zu \(\frac1{\cos x}\), \(\frac{\sin x}{\cos2x}\), \(\frac{\cos x}{\cos2x}\). Bei den Beweisen leistet eine Erweiterung des Congruenzbegriffes Dienste, indem zwei Potenzreihen \(\sum\limits_0^\infty r_h\frac{x^h}{h!}\) mit rationalen \(r_h\) congruent mod. \(m\) genannt werden, wenn sie in den Werten \(r_h\) (mod. \(m\)) übereinstimmen. Ferner werden Sätze über \(h(pQ)\), \(h(2pQ)\) entwickelt unter der Voraussetzung, dass \(Q\) eine zu 2 und \(p\) prime und durch kein Quadrat \(\neq1\) teilbare positive Zahl \(>1\) ist, z. B. der folgende: Ist \(p\equiv3\), \(Q\equiv1\) (mod. 4) und \[ \frac1{\cos Qx}\left[\fracwithdelims()1Q\sin x - \fracwithdelims()3Q\sin3x +\cdots- \left(\frac{Q-2}Q\right)\sin(Q-2)x\right] = \sum_1^\infty c_h\frac{x^{2h+1}}{(2h+1)!}, \] so gilt \(h(pQ)\equiv(-1)^{\frac{p+1}4} c_{\frac{p+1}4}\) (mod. \(p\)). Man findet dann z. B. für \(Q=5\) noch genauer \(h(5p)\) gleich dem kleinsten positiven Rest von \((-1)^{\frac{p+1}4} c_{\frac{p+1}4}\) (mod. \(2p\)).