On convergents and continued fractions (Q1524814)

Diese Arbeit nimmt denselben Ausgangspunkt der Fareyschen Reihen, wie Herr \textit{A. Hurwitz} [Math. Ann. 44, 417--436 (1894; JFM 25.0322.04)]; es gelingt dabei, die Gesetze der Zeichenwechsel und Zeichenfolgen innerhalb der Charakteristik zu erfassen, indem man die Näherungswerte je nach der Fehlergrosse in Haupt- und Nebennäherungswerte sondert und bei ersteren wieder singuläre und ordinäre unterscheidet. Weiter sieht man, dass die Bildung dieser Näherungswerte einer Grösse \(w\) übereinstimmt mit ihrer Entwickelung in einen Kettenbruch \(g_0\overset{.}-\frac{\varepsilon_1}{g_1} \overset{.}-\frac{\varepsilon_2}{g_2} \overset{.}-\cdots\overset{.}- \frac{\varepsilon_i}{g_i}\), wo jedes \(\varepsilon=\pm1\) sein kann, und es also gleichgültig ist, ob bei den successiven Divisionen ein positiver oder negativer Rest gewählt wird. Jeder irreductible Bruch \(\frac mn\) besitzt dabei genau \(n\) verschiedene Entwickelungen; es giebt keine kürzere als die nach den kleinsten Resten; die eindeutige Zerlegung einer Substitution \[ \frac{c-ax}{d-bx}\qquad(ad - bc =\pm1) \] in die beiden \(1-x\) und \(\frac1{1+x}\) wird durch eine der beiden längsten Kettenbruchentwickelungen von \(\frac cd\) geliefert. Diese Kettenbrüche vermitteln endlich eine eigenartige Teilung der Charakteristik in Gruppen, welche einen besonderen Zusammenhang zwischen den Charakteristiken gleichnamiger Brüche darthut.