Ueber Combinationen zu bestimmten Summen. (Q1524828)

Der Verf. leitet verschiedene Formeln für die Anzahl der Combinationen \(r^{\text{ter}}\) Klasse ohne Wiederholung zur Stellenzeigersumme \(s\) ab. Wird die Anzahl dieser Combinationen, gebildet aus den Elementen 1, 2, 3,..., \(\infty\), mit \((s, r)\) bezeichnet, so lassen sich zunächst verschiedene Recursionsformeln gewinnen, von denen die folgenden wegen ihrer Einfachheit hervorgehoben werden mögen: \[ (s+r, r) = (s, r) + (s, r-1), \] \[ \sum_{\lambda=0}^{\lambda=r-1} (-1)^\lambda \binom{r-1}\lambda (s-\lambda R,r) = \frac{R^{r-1}}{r!}, \] wobei \(R\) das kleinste Vielfache der Zahlen 1, 2, 3, ..., \(r\) bezeichnet. Die Zahlen \((s-\lambda R, r)\) der zweiten Formel bilden eine arithmetische Reihe der \((r-1)^{\text{ten}}\) Ordnung. Dann werden noch independente Formeln für die Zahlen \((s, r)\) der ersten sechs Klassen abgeleitet. Diese Formeln bieten aber kein allgemeineres Interesse dar, weil sich eine bestimmte Gesetzmassigkeit in ihren Coefficienten nicht erkennen lässt.