Contributions to the mathematical theory of evolution. Skew variation in homogeneous material. (Q1524846)

Die normale Frequenzcurve der Statistiker, das Gauss'sche Fehlergesetz, ist in doppelter Hinsicht für die Bedürfnisse der Praxis zu speciell; sie ist 1) gegen die Mitte symmetrisch und 2) nach beiden Seiten hin unbegrenzt. Sehr viele Beobachtungsserien zeigen aber ein schiefes Verhalten, d. h. eine Verschiedenheit der rechten und linken Seite der Frequenzcurve, und ausserdem eine einseitige oder beiderseitige Begrenzung, d. h. das Vorhandensein solcher Abscissenwerte, oberhalb oder unterhalb deren die Frequenz mit Notwendigkeit gleich Null ist. Die vorliegende Arbeit bezweckt, das Gauss'sche Fehlergesetz so zu erweitern, dass den Bedürfnissen der Praxis Rechnung getragen wird. Verf. bemerkt, dass das Gauss'sche Fehlergesetz mit dem ``symmetrischen'' Binom \[ (\tfrac12 + \tfrac12)^n \] enge zusammenhängt. Es genügen nämlich die einzelnen Terme der Binomialreihe, aufgefasst als Functionen des Stellenzeigers, einer Differenzengleichung, welche in die Differentialgleichung für die Ordinate der Fehlercurve übergeht, wenn \(n\) ins Unendliche wächst. Hierauf betrachtet Verf. das ``schiefe'' Binom \[ (p + q)^n\text{ mit }p + q = 1, \] dessen auf einander folgende Terme einer etwas allgemeinen Differenzengleichung genügen; die Lösung der entsprechenden Differentialgleichung lautet: \[ y = y_0\left(1 + \frac xa\right)^{\nu a} e^{-\nu x}\qquad(\nu>0,\,a>0). \] Diese Curve ist linksseitig begrenzt (bei \(x=-a\)) und unsymmetrisch gegen die Ordinatenaxe. Allgemeinere Typen werden dadurch erhalten, dass man (auf Grund eines einfachen Wahrscheinlichkeitsansatzes) die Binomialreihe durch eine hypergeometrische ersetzt. Letztere führt auf eine Differenzen- und weiterhin auf eine Differentialgleichung, unter deren Lösungen beiderseitig begrenzte Curven von unsymmetrischem Charakter vorkommen. Zur Begründung der neu eingeführten Fehlergesetze führt Verf. an, dass er keine ``einheitliche'' statistische Reihe gefunden habe, die nicht durch das eine oder andere seiner erweiterten Fehlergesetze befriedigend dargestellt würde, wie solches an einer Reihe von Beispielen aus verschiedenen Gebieten der Statistik durchgeführt wird.