Ueber das Poisson'sche und das demselben conjugirte Integral. (Q1524957)

Es wird das Verhalten der zu dem Poisson'schen Integrale conjugirten Function \[ v = -\frac1{\pi} \int_0^{2\pi} U(\psi) \frac{\varrho\sin(\psi-\alpha)}{1-2\varrho\cos(\psi-\alpha)+\varrho^2} d\psi \] bei Annäherung von \(\varrho\) an den Wert 1 untersucht, welches durch die beiden Sätze charakterisirt ist: I. ``Wenn \(\varrho\) dem Werte 1 sich nähert, während \(\alpha\) fest angenommen wird, so nähert sich \(v\) dann, und nur dann, einem Grenzwerte, wenn \[ \lim_{\sigma=0}\frac1{2\pi} \int_0^\pi [U(\alpha-\psi) - U(\alpha+\psi)]\cot \frac{\psi}2 d\psi \] existirt; wenn aber beide Grenzwerte existiren, so sind sie einander gleich. Die Function \(U(\psi)\) ist hierbei auf beiden Seiten der Stelle \(\psi=\alpha\) als stetig vorausgesetzt.'' II. ``Damit die stetige Function \(U(\alpha)+iV(\alpha)\) der reellen Variable \(z\) mit der Periode \(2\pi\) die Werte einer analytischen Function von \(z=\varrho e^{ia}\) für \(\varrho=1\) darstellt, ist nötig und hinreichend, dass \[ \frac1{\psi}[U(\alpha-\psi) - U(\alpha+\psi)] \] an der Stelle \(\psi=0\) für alle \(\alpha\) gleichmässig integrirbar und \[ V(\alpha) = \frac1{2\pi} \int_0^\pi [U(\alpha-\psi) - U(\alpha+\psi)]\cot \frac{\psi}2 d\psi \] sei.'' Ist nun \[ a_\nu = \frac1{\pi}\int_0^{2\pi} U(\psi)\cos\nu\psi d\psi,\quad b_\nu = \frac1{\pi}\int_0^{2\pi} U(\psi)\sin\nu\psi d\psi \] und \[ W_n(\alpha) = \sum_1^n (a_\nu\sin\nu\alpha - b_\nu\cos\nu\alpha), \] so ist für die Existenz von \(\lim\limits_{n=\infty}W_n(\alpha)\) notwendig und hinreichend, dass der im Satze I angegebene Grenzwert existirt, und dass \[ \lim_{n=\infty} \int_{\frac{\pi}{2n}}^\pi [U(\alpha-\psi) - U(\alpha+\psi)] \cot\frac{\psi}2\cos n\psi d\psi = 0 \] ist; und zwar ist dann \(\lim\limits_{n=\infty}W_n(\alpha)=V(\alpha)\). Wenn sich \(U(\alpha)\) als Summe von Dirichlet'schen Functionen, d. h. Functionen mit einer endlichen Anzahl von Maxima und Minima darstellen lässt, so existiren die Grenzwerte \(\lim\limits_{n=\infty}W_n(\alpha)\) und \(V(\alpha)\) gleichzeitig und sind einander gleich.