Sur une classe d'équations dont l'intégrale est uniforme. (Q1524977)

Um Typen von Differentialgleichungen zu erhalten, deren allgemeines Integral eindeutig ist, geht der Verfasser von der \(r\)-gliedrigen Gruppe \[ z_i = f_i(x-1,\dots,x_m;\,a_1,\dots,a_r)\qquad (i = 1,2,\dots,m;\,r<m) \] aus, die die besondere Eigenschaft hat, eine Gruppe von birationalen Substitutionen zwischen den \(z\) und \(x\) zu sein, worin die Parameter \(a\) algebraisch eintreten. Das System \(S\) von \(r\) Differentialgleichungen erster Ordnung in \(z_1\), ..., \(z_r\), welches durch Elimination der \(a\) hervorgeht, indem für die \(x\) Functionen von \(t\) genommen werden, ist dann algebraisch, und die Coefficienten der \(z\) und ihrer Derivirten sind rationale Functionen der \(x\) und ihrer Derivirten, die bei den Substitutionen der Gruppe unverändert bleiben. Nimmt man für die \(x\) ein solches System von überall eindeutigen Functionen \(x_i=F_i(t)\), dass \[ F_i(t+\omega) = f_i(F_1(t), F_2(t),\dots, F_m(t),\,a_1^0,\dots,a_r^0) \] und \(F_i(t+\omega')=F_i(t)\), dann werden die Coefficienten des Differentialgleichungssystems doppeltperiodische Functionen von \(t\). An diese Klasse von Differentialgleichungen mit eindeutigem allgemeinem Integral werden einige Bemerkungen geknüpft.