Ueber die numerische Auflösung von Differentialgleichungen. (Q1524982)

Zur näherungsweisen Berechnung der Lösung einer Differentialgleichung \(\frac{dy}{dx}=f(x,y)\) setzt Euler \(\varDelta y=f(x_0,y_0)\varDelta X\). Dieses Verfahren, bei welchem \(\varDelta y\), nach Potenzen von \(\varDelta X\) entwickelt, nur im Gliede erster Ordnung mit der Entwickelung des wahren Wertes von \(\varDelta y\) übereinstimmt, ersetzt der Verfasser durch ein anderes, welches der Simpson'schen Regel für die Berechnung eines bestimmten Integrals entspricht, und bei dem die Uebereinstimmung des Näherungswertes von \(\varDelta y\) mit dem wahren Werte in den Entwickelungen nach Potenzen von \(\varDelta X\) bis zu den Gliedern dritter Ordnung einschliesslich stattfindet. Man setze als Näherungswerte: \[ 1)\quad \varDelta y = f(x_0+\tfrac12\varDelta X,\, y_0+\tfrac12f(x_0,y_0)\varDelta X)\varDelta X, \] \[ 2)\quad \varDelta y = \frac{\varDelta'y + \varDelta'''y}2, \] wo \[ \varDelta'y = f(x_0, y_0)\varDelta x,\quad \varDelta''y = f(x_0+\varDelta X, y_0+\varDelta'y)\varDelta X, \] \[ \varDelta'''y = f(x_0+\varDelta X, y_0+\varDelta''y)\varDelta X. \] Bezeichnet man den ersten Näherungswert mit \(N_1\), den zweiten mit \(N_2\), so stellt \(N_1+\frac13(N_2-N_1)\) den gesuchten verbesserten Näherungswert dar. Dieses Verfahren wird auf simultane Differentialgleichungen erster Ordnung und damit auf Differentialgleichungen beliebiger Ordnung ausgedehnt. An einzelnen Beispielen wird der Gang der Rechnung dargelegt.