On the singular solutions of simultaneous ordinary differential equations and the theory of congruencies. (Q1524984)

Es werden die singulären Lösungen eines Systems von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung mit einer unabhängigen und \(n\) abhängigen Variabeln behandelt. Verf. benutzt zwei verschiedene Wege. Er geht einmal von der (als bekannt vorausgesetzten) allgemeinen Lösung aus, von welcher die singuläre Lösung (genauer die ``erste'' singuläre Lösung) dadurch abgeleitet wird, dass die \(n\) willkürlichen Constanten als Functionen der unabhängigen Variabeln bestimmt werden. Diese Functionen werden ihrerseits als Losung eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung von \(n-1\) abhängigen Variabeln gefunden und enthalten somit \(n-1\) willkürliche Constanten. Man kann weiterhin nach der ersten singulären Lösung dieses Differentialgleichungssystems fragen, welche durch ein Differentialgleichungssystem von \(n-2\) abhängigen Variabeln bestimmt wird. Dieselbe liefert gleichzeitig die ``zweite'' singuläre Lösung des ursprünglichen Systems. So fortfahrend erkennt man: Es giebt (im allgemeinen) \(n\) Arten von singulären Lösungen mit beziehungsweise \(n-1\), \(n-2\), ..., 1, 0 willkürlichen Constanten. Der andere Weg geht von den Differentialgleichungen aus und ist schon früher von Hrn. A. Mayer eingeschlagen (vgl. F. d. M. XV. 1883. 288, JFM 15.0288.01). Den Schluss der Arbeit bilden geometrische Beispiele aus der Theorie der Curvencongruenzen.