Sur quelques équations différentielles ordinaires du second ordre. (Q1525026)

Es werden diejenigen Differentialgleichungen zweiter Ordnung untersucht, deren allgemeines Integral, nach Analogie der Riccati'schen Gleichung, die Form hat: \[ x = \frac{c_1\varphi_1(t) + c_2\varphi_2(t) + c_3\varphi_3(t)}{c_1\psi_1(t) + c_2\psi_2(t) + c_3\psi_3(t)}.\tag{1} \] Durch Differentiation und Elimination der Constanten ergiebt sich als Form der Differentialgleichung: \[ A(xx''-2x'^2) + Bx'' + Cxx' + Dx' + Px^3 + Qx^2 + Rx + S = 0,\tag{2} \] wo die Coefficienten Functionen von \(t\) sind. Da ihre Anzahl 7 ist, während das Integral nur 5 enthält, so müssen zwischen ihnen zwei Relationen stattfinden. Diese werden durch ein Verfahren entwickelt, das zugleich das Mittel liefert, die Gleichung (2) durch eine Transformation \[ x = \frac{z'\alpha(t)+z\beta(t)}{z'\gamma(t)+z\delta(t)} \] in eine lineare Differentialgleichung dritter Ordnung in \(z\) überzuführen, von deren Integration somit die der Gleichung (2) abhängt. Hieraus ergiebt sich auch, dass die Kenntnis von vier particulären Integralen (Fundamentalsystem) ohne weitere Integration zum allgemeinen Integral führt; desgleichen, dass die Kenntnis eines oder mehrerer particulären Integrale die Integration vereinfacht. Der zweite Abschnitt beschäftigt sich mit den allgemeinen Gleichungen (2). Die Bemerkung, dass sie bei den Transformationen \[ x = \frac{\alpha(t)y+\beta(t)}{\gamma(t)y+\delta(t)}\qquad (t = \varphi(u)) \] ihre Form behalten, führt dazu, kanonische Formen der Gleichung (2) aufzustellen, deren Coefficienten Invarianten bezüglich dieser Transformationen sind. Dieselben werden dazu angewandt, um die Bedingungen zu finden, unter denen die Gleichung (2) sich auf eine der nämlichen Form mit constanten Coefficienten zurückführen lässt. Im letzten Abschnitt wird das Problem gelöst, zu entscheiden, ob eine Differentialgleichung zweiter Ordnung \(x''=\varphi(x',x,t)\) durch eine Transformation von der Form \(V=F(x',x)\) in eine Differentialgleichung erster Ordnung für \(V\) verwandelt werden kann; in diesem Falle werden die entsprechenden Functionen \(F\) bestimmt. Die Integration der gegebenen Gleichung zweiter Ordnung ist dann auf die successive Integration zweier Gleichungen erster Ordnung zurückgeführt.