Lagrange's multiplier method and the most general problem of the calculus of variations for one independent variable. (Q1525082)

Schon 1878 (Leipz. Ber.; F. d. M. X. 1878. 266-268, JFM 10.0266.02) hatte sich der Verfasser mit dem allgemeinsten Problem der Variationsrechnung befasst, welches folgendermassen formulirt wurde: Unter allen stetigen Functionen \(y_0\), ..., \(y_n\) der unabhängigen Variable \(x\), welche \(r+1\) gegebene Differentialgleichungen erster Ordnung \[ \varphi_k(x,y_0,\dots,y_n,\, y_0',\dots,y_n') = 0\qquad(k = 0,1,\dots,r<n) \] identisch erfüllen, und von denen überdies die \(n\) letzten für zwei gegebene Werte \(x_0\) und \(x_1\), die erste \((y_0)\) dagegen nur für \(x=x_0\), gegebene Werte besitzen, diejenigen zu finden, denen ein grösster oder kleinster Wert der Function \(y_0\) an der Stelle \(x=x_1\) zugehört. Damals wurde die Lagrange'sche Multiplicatorenmethode stillschweigend als gültig vorausgesetzt; die vorliegende Arbeit zeigt, dass diese Voraussetzung zu Recht besteht. Aus den gegebenen Gleichungen erhält man für die Variationen \(\delta y_1\), ..., \(\delta y_n\) die \(r+1\) Bedingungsgleichungen \[ \sum_0^n{}_k (\varphi_k'y_i\delta y_i + \varphi_k'y_i'\delta y_i'= 0, \] welche mit vorläufig unbestimmten Factoren \(\lambda_k\) multiplicirt und addirt werden. Es müssen dann die Lösungen des Problems immer die Eigenschaft besitzen, den \(n+1\) Differentialgleichungen \[ \sum_0^n{}_k \left(\lambda\varphi_k'y_i - \frac{d\lambda_k\varphi_k'y_i'}{dx}\right) = 0\quad (i = 0,1,\dots,n) \] gemeinsame Lösungen \(\lambda_0\), ..., \(\lambda_r\) zu verschaffen. Setzt man \[ \Omega = \lambda_0\varphi_0 + \lambda_1\varphi_1 +\cdots+ \lambda_r\varphi_r, \] so ist das Problem bestimmt und möglich, wenn die \(n+r+2\) Gleichungen \[ \frac{\partial\Omega}{\partial y_i'} = v_i,\qquad \varphi_k = 0 \] auflösbar sind nach den \(n+r+2\) Unbekannten \(y_0'\), ..., \(y_n'\), \(\lambda_0\), ..., \(\lambda_r\). Zur Zurückführung der Differentialgleichungen des Problems auf eine partielle Differentialgleichung erhält man schliesslich die schon in der früheren Abhandlung angegebene Regel.