Some observations on the note ''On groups of functional operations''. (Q1525103)

Untersuchungen über Gruppen von Functionaloperationen haben den Verfasser zu folgendem Satze geführt: Es sei \(\pi(\varphi_1,\varphi_2,A)\) eine analytische Function der drei Argumente \(\varphi_1\), \(\varphi_2\), \(A\). Ferner möge die Differentialgleichung \[ W\left(\varphi,\frac{d\varphi}{dA},\dots, \frac{d^n\varphi}{dA^n},A\right) = 0 \] durch die Function \[ \varphi = \pi(\varphi_1,\varphi_2,A) \] befriedigt werden, unter \(\varphi_1\), \(\varphi_2\) irgend zwei Lösungen derselben Differentialgleichung verstanden. Dann lässt sich die Function \(\lambda(\psi,A)\) so bestimmen, dass die Differentialgleichung \(W=0\) durch die Substitution \(\varphi=\lambda(\psi,A)\) in eine für die Variable \(\psi\) lineare homogene Differentialgleichung übergeht. Der in der ersten Note (siehe JFM 26.0435.02) gegebene Beweis dieses Satzes enthält eine Lücke, auf welche der Verfasser durch Herrn Vessiot aufmerksam gemacht wurde. In der zweiten Note teilt der Verfasser deshalb einen neuen Beweis des Satzes mit, der wie der erste auf Lie'schen Theorie der Transformationsgruppen beruht. Der Verfasser bringt sodann einen an ihn gerichteten Brief des Herrn Vessiot zum Abdruck, der einen weiteren sehr kurzen Beweis desselben Satzes, sowie einige Bemerkungen enthält, die sich auf die Verallgemeinerung des Satzes auf Systeme von Differentialgleichungen beziehen.