Groups of functional operations and the inversion of definite integrals. I and II. (Q1525104)

Der Verfasser betrachtet die Functionaloperationen \[ Av(y) = \int a(x,y)v(y)dy, \] wo die Integration über eine bestimmte Linie zu erstrecken ist und \(a(x,y)\) eine gegebene Function der beiden complexen Variabeln \(x\), \(y\) bezeichnet, welche die ``charakteristische'' Function der Operation \(A\) heisst. Es handelt sich nun insbesondere um diejenigen Operationen \(A\), welche mit der gegebenen linearen Differentialoperation \[ \varDelta(v) = \sum_{r=0}^n p_r(y)v^{(n-r)}(y) \] vertauschbar sind. Es ergiebt sich unter gewissen Voraussetzungen über das Verhalten der in Betracht kommenden Functionen auf der Integrationslinie, dass die charakteristischen Functionen dieser Operationen durch die Differentialgleichung \[ \sum_{r=0}^n p_r(x)\frac{\partial^{n-r}a}{\partial x^{n-r}} = \sum_{r=0}^n (-1)^{n-r} \frac{\partial^{n-r}(ap_r(y))}{\partial y^{n-r}}\tag{1} \] bestimmt werden, eine Gleichung, deren Lösungen durch bestimmte Integrale dargestellt werden können. Da mit \(A_1\) und \(A_2\) auch \(A_1A_2\) mit \(\varDelta\) vertauschbar ist, so besitzt die Gleichung (1) die Eigenschaft, dass gleichzeitig mit \(a_1(x,y)\), \(a_2(x,y)\) auch \[ a(x,y) = \int a_1(x,z)a_2(z,y)dz \] Lösung derselben ist. Der Verfasser zeigt, dass umgekehrt jede Differentialgleichung \(n^{\text{ter}}\) Ordnung, welcher diese Eigenschaft zukommt, stets (abgesehen von einem Ausnahmefalle) die Gestalt (1) besitzt. --- Die Frage nach der zur Operation \(A\) inversen Operation \(A^{-1}\) kommt offenbar auf die der Umkehrung des Integrales \(\int a(x,y)v(y)dy\) zurück, womit der Verfasser sich weiterhin, namentlich für den Fall, wo die Differentialoperation \(\varDelta\) von der ersten Ordnung ist, beschäftigt. Zugleich mit der Umkehrung des in Rede stehenden Integrales ergiebt sich die Lösung der Aufgabe, eine gegebene Function \(w(x)\) in eine Reihe zu entwickeln, die nach den Functionen \[ P_n(x) = \int a(x,y)y^n dy\qquad (n = 0, 1, 2,\dots) \] fortschreitet.