On the inversion of definite integrals in the real domain. (Q1525105)

Die ``Inversion der bestimmten Integrale'' besteht in der Herstellung einer Function \(v(y)\), welche die Gleichung \[ u(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(x,y)v(y)dy\tag{1} \] zu einer identisch richtigen macht, wobei \(u(x)\), \(a(x)\), \(b(x)\), \(f(x,y)\) gegebene Functionen bezeichnen. Der Verfasser giebt zunächst in allgemeinen Umrissen eine hierzu dienliche Methode, unter der Voraussetzung, dass \(f(x,y)\) einer Differentialgleichung der Form \[ \sum_{r=0}^n p_r(x) \frac{\partial^rf}{\partial x^r} + \sum_{s=0}^m q_s(y) \frac{\partial^sf}{\partial y^s} = 0\tag{2} \] genügt, und beschäftigt sich sodann eingehend mit zwei besonderen Fällen, die sich unter die Annahme \(n=m=1\) subsumiren. Diese Fälle sind dadurch charakterisirt, dass die Gleichung (1) die besondere Gestalt \[ u(x) = \int_a^x f(x-y)v(y)dy\tag{1a} \] oder \[ u(x) = \int_a^b f(x-y)v(y)dy\tag{1b} \] besitzt, unter \(a\), \(b\) Constanten und unter \(f\) eine willkürliche Function verstanden. Unter gewissen Voraussetzungen, welche die Stetigkeit und Integrirbarkeit der gegebenen Functionen betreffen, wird die Inversion im Falle (1a) folgendermassen ausgeführt (wobei der Referent sich zur Abkürzung einer Zusammenfassung der vom Verfasser gegebenen Formeln mit Hülfe des Imaginären bedient). Man setze \[ \psi(t) = \int_0^\infty f(\lambda)e^{i\pi t\lambda}d\lambda. \] Dann ist \(v(y)\) der reelle Bestandteil des Integrales \[ \int_0^\infty dt \int_a^\infty \frac{u(z)}{\psi(t)} e^{i\pi t(z-y)} dz. \] Aehnlich lässt sich der Fall (1b) erledigen. Die Resultate des Verfassers enthalten als specielle Fälle eine bekannte Abel'sche Formel und deren Verallgemeinerung durch Hrn. Sonine. (Vgl. F. d. M. XII. 1880. 400, JFM 12.0400.01).