On the sums that depend on the positive values of an arbitrary function. (Q1525112)

In der Abhandlung ``Ueber die Summen, welche aus den Werten der einfachsten Monome, mit einer beständig positiv bleibenden Function multiplicirt, gebildet sind'' (St. Petersb. Denkschr. LXIV. 1-67, F. d. M. XXIII. 1891. 418, JFM 23.0418.01), hat der berühmte russische Gelehrte die Auflösung der Gleichungen \[ \sum_0^p y_i = C_0,\quad \sum_0^p x_iy_i = C_1,\quad\dots,\quad \sum_0^p x_i^{2k-1}y_i = C_{2k-1}\tag{1} \] (alle \(y_i\) sind grösser als Null) behandelt und für den Fall \(p=k\), wo die Anzahl der Unbekannten gleich der Anzahl der Gleichungen ist, gezeigt, dass diese Gleichungen eine Lösung haben, welche mit Hülfe der Entwickelung des Ausdruckes \[ \frac{C_0}x + \frac{C_1}{x^2} +\cdots+ \frac{C_{2k-1}}{x^{2k}} \] in einen Kettenbruch sehr leicht zu finden ist. Der Zweck der vorliegenden, letzten Arbeit Tschebyschew's ist der, zu zeigen, dass man aus diesen Gleichungen (1) für den Fall \(p=k\) die Ungleichheiten erhalten kann, welchen alle reellen Lösungen der Gleichungen genügen: \[ \sum_0^p u_i^2 = C_0,\quad \sum_0^p z_iu_i^2 = C_1,\quad\dots,\quad \sum_0^p z_i^{2k-1}u_i^2 = C_{2k-1},\tag{2} \] und zwar bei jeder möglichen Anzahl der Unbekannten, also wenn diese Gleichungen unbestimmt werden. Es werden dazu im \S\ 2 die Grenzen gefunden, zwischen denen sich die Summe \(u_h^2+u_{h+1}^2+\cdots+u_{p-1}^2\) befindet; nämlich man hat \[ \begin{aligned} u_h^2 +\cdots+ u_{p-1}^2 &< y_i + y_{i+1} +\cdots+ y_{k-1},\\ u_h^2 +\cdots+ u_{p-1}^2 &> y_{i+1} + y_{i+2} +\cdots+ y_{k-1},\end{aligned} \] wo \(y_i\), \(y_{i+1}\), ..., \(y_{k-1}\) die in einer gewissen bestimmten Ordnung genommenen Lösungen der Gleichungen (1) für den Fall \(p=k\) sind. Man kann immer die Gleichungen (1) in der Form annehmen: \[ \begin{multlined} \sum_0^k y_i^{(0)} = c_0 - e_0,\quad \sum_0^k x_i^{(0)}y_i^{(0)} = c_1 + e_1,\quad\dots,\\ \sum (x_i^{(0)})^{2k-1}y_i^{(0)} = c_{2k-1} + e_{2k-1},\end{multlined}\tag{3} \] und in \S\ 3 und folgenden bestimmt der Verfasser das Maximum und das Minimum der Summe \[ y_\mu^{(0)} + y_{\mu+1}^{(0)} +\cdots+ y_{k-1}^{(0)}, \] wo \(y_0^{(0)}\), \(y_1^{(0)}\), ... die Lösungen des Gleichungssystems (3) sind. Mit Hülfe eines Theorems, das vom Verfasser schon früher in der Abhandlung: ``Ueber die Kettenbruchentwickelung der Reihen, welche nach absteigenden Potenzen der Veränderlichen fortgehen'' (Petersb. Abh. LXXI, F. d. M. XXIV. 1892. 192, JFM 24.0192.02) gegeben ist, zeigt er, dass, wenn \(e_0\), \(e_1\), ..., \(e_{2k-1}\) in den Grenzen \[ \frac1{H_0},\quad \frac h{H_0},\quad \frac{h^2}{H_0},\quad\dots,\quad \frac{h^{2k-1}}{H_0} \] und \[ -\frac1{H_0},\quad -\frac h{H_0},\quad -\frac{h^2}{H_0},\quad\dots,\quad -\frac{h^{2k-1}}{H_0} \] liegen, die Beziehungen bestehen: \[ \begin{aligned} y_\mu^{(0)} + y_{\mu+1}^{(0)} +\cdots+ y_{k-1}^{(0)} > y_\mu' &+ y_{\mu+1}' +\cdots+ y_{k-1}',\\ y_\mu^{(0)} + y_{\mu+1}^{(0)} +\cdots+ y_{k-1}^{(0)} < y_\mu'' &+ y_{\mu+1}'' +\cdots+ y_{k-1}'',\end{aligned} \] wo \[ y_0',\; y_1',\; y_2',\;\dots,\;y_0'',\; y_1'',\; y_2'',\;\dots \] die Lösungen der Grenzgleichungen sind: \[ \begin{multlined}\sum_0^k y_i' = c_0 - \frac1{H_0},\quad \sum_0^k x_i'y_i = c_1 + \frac h{H_0},\quad\dots,\\ \sum_0^k (x_i')^{2k-1}y_i' = c_{2k-1} + \frac{h^{2k-1}}{H_0},\end{multlined}\tag{4} \] \[ \begin{multlined}\sum_0^k y_i'' = c_0 + \frac1{H_0},\quad \sum_0^k x_i''y_i'' = c_1 - \frac h{H_0},\quad\dots,\\ \sum_0^k (x_i'')^{2k-1}y_i'' = c_{2k-1} - \frac{h^{2k-1}}{H_0}.\end{multlined}\tag{5} \] Die Zusammenstellung der Resultate des \S\ 2 mit diesem Resultate zeigt, dass sowohl die höhere als die niedere Grenze der Summe \(u_h^2+u_{h+1}^2+\cdots+u_{p-1}^2\) bei jeder Anzahl der Unbekannten in den Gleichungen (2) aus der Auflösung der bestimmten Gleichungen (4) und (5) erhalten werden kann. Der Verfasser erwähnt, dass die Formeln für die Grenzwerte der Integrale und der Summen, welche der Gegenstand der Abhandlungen waren: ``Ueber die Grenzwerte der Integrale, dargestellt mit Hülfe der Residuen'' und ``Ueber die Residuen, welche die angenäherten Werte der Integrale geben'' (F. d. M. XVII. 1885. 172, JFM 17.0172.01, und XIX. 1887. 273, JFM 19.0273.03), das Resultat der Untersuchungen der vorliegenden Abhandlung sind.