Contributions to potential theory. I, II. (Q1525131)

Sind \(F_0\), \(F_1\), ..., \(F_n\) Functionen der reellen unbeschränkten Variabeln \(z_1\), \(z_2\), ..., \(z_n\), so wird durch die Gleichungen \(x_i=F_i\) \((i=0,1,\dots,n)\) eine Mannigfaltigkeit \(M_n\) von \(n\) Dimensionen im Raume von \(n+1\) Dimensionen definirt. Die Charakteristik \(K\) des Functionensystems \((F_0, F_1,\dots, F_n)\) ist die Zahl, die angiebt, wie oft die Mannigfaltigkeit \(M_n\) den Nullpunkt \[ x_0 = x_1 = \cdots = x_n = 0 \] umgiebt, oder die Zahl, die angiebt, wie oft die \(n\)-dimensionale Kugel \(x_0^2+x_1^2+\cdots+x_n^2=1\) überdeckt wird, wenn man \(M_n\) vom Nullpunkt aus auf dieselbe projicirt. Aus dieser Auffassung geht unmittelbar die Darstellung der Charakteristik durch ein \(n\)-faches, ein \((n-1)\)-faches u. s. w. bis nullfaches Integral hervor. Letzteres ist nichts anderes als die Summe von Vorzeichen, durch welche Kronecker ursprünglich die Charakteristik definirt hat. Die Darstellung der Charakteristik durch Integrale lässt sich noch allgemeiner gestalten, indem man nicht die Zahl der Ueberdeckungen für die ganze Kugel, sondern nur für einen Teil derselben berechnet. Die Note II knüpft an das bekannte Gaussische Integral für die Zahl der Umschlingungen zweier Raumcurven an. Sind \(z_1\), \(z_2\), \(z_3\) rechtwinklige Coordinaten und \(z_i=\varphi_i(\lambda_1)\) \((i=1,2,3)\) die Gleichungen der ersten Curve, ferner \(z_i=\psi_i(\lambda_2)\) \((i=1,2,3)\) die Gleichungen der zweiten Curve, so erweist sich das Gaussische Integral identisch mit der Charakteristik des Systemes \[ (\varphi_1(\lambda_1) - \psi_1(\lambda_2),\; (\varphi_2(\lambda_1) - \psi_2(\lambda_2),\; (\varphi_3(\lambda_1) - \psi_3(\lambda_2). \] Wenn dagegen die beiden Curven als Durchschnitte von Flächen gegeben sind, die erste etwa als Durchschnitt von \(F_0=0\), \(F_1=0\), die zweite als Durchschnitt von \(F_2=0\), \(F_3=0\), so lässt sich die Uebereinstimmung des Gaussischen Integrales mit der Charakteristik des Systemes \((F_0, F_1, F_2, F_3)\) nachweisen. Diese Resultate dehnt der Verfasser auf den Raum von \(n\) Dimensionen aus. Es seien in diesem Raume zwei Mannigfaltigkeiten \(M_k\) und \(M_{n-k-1}\) von \(k\), bez. \(n-k-1\) Dimensionen gegeben. Dann wird die Zahl der Umschlingungen dieser Mannigfaltigkeiten durch ein dem Gaussischen nachgebildetes Integral definirt und in doppelter Weise als Kronecker'sche Charakteristik dargestellt. Insbesondere ergiebt sich dabei, dass sich die Charakteristik \(K\) eines Functionensystemes \(F_0\), \(F_1\), ..., \(F_n\) folgendermassen deuten lässt. Man teile die Functionen irgendwie in zwei Gruppen \(F_0\), \(F_1\), ..., \(F_k\) und \(F_{k+1}\), ..., \(F_n\). Setzt man nun die Functionen der ersten, bez. zweiten Gruppe gleich Null, so definirt man dadurch zwei Mannigfaltigkeiten von \(n-k-1\), bez. \(k\) Dimensionen und die Charakteristik \(K\) stimmt mit der Zahl der Umschlingungen dieser Mannigfaltigkeiten überein.