On a certain automorphic function. (Q1525135)

Gegeben \(2p\) sich ausschliessende Kreise in der Ebene einer complexen Variable \(\zeta\), welche paarweise durch lineare Substitutionen einander zugeordnet sind. Der Raum ausserhalb der Kreise bildet einen Fundamentalbereich der durch die genannten Substitutionen constituirten Gruppe. Es wird zunächst durch ein unendliches Product eine Function \(E(\zeta,m)\) definirt, welche in jedem Fundamentalbereich der Gruppe nur eine durch den Parameter \(m\) gegebene Nullstelle hat, und welche sich ``automorph im weiteren Sinne'' verhält, d. h. bei einer Substitution der Gruppe mit einem Factor multiplicirt wird. Sodann wird eine durch Reihendarstellung gegebene Function \(\lambda(\zeta,m)\) betrachtet, welche in jedem Fundamentalbereiche eine durch \(m\) gegebene Unendlichkeitsstelle und \(p\) Nullstellen besitzt und gleichfalls automorph im weiteren Sinne ist. Endlich werden die beiden Functionen \(E\) und \(\lambda\) mit Hülfe der \(\Theta\)-Functionen von \(p\) Veränderlichen auf einander zurückgeführt.