On diverse points in the theory of Fuchsian functions. (Q1525201)

Diese Arbeiten (siehe auch JFM 25.0726.01; JFM 25.0726.02; JFM 25.0726.03) bezwecken den weiteren Ausbau der Theorie der automorphen Functionen auf arithmetisch-gruppentheoretischer Grundlage. Es handelt sich dabei um eine gewisse Klasse eigentlich diskontinuierlicher Substitutionsgruppen einer Veränderlichen \(\eta\), deren Koeffizienten nach einfachen Vorschriften als ganze algebraische Zahlen eines gewissen endlichen, reellen, Zahlkörpers \(K\) \(n\)-ten Grades ausgewählt werden. Bei den fraglichen Gruppen hat man, wie die erstgenannte Abhandlung nachweist, vier Fälle zu unterscheiden, je nachdem das ``Ausgangspolygon'' keinen, einen, zwei oder schließlich unendlich viele Grenzpunkte besitzt. Ohne auf die interessanten Anwendungen der Gruppen auf die Auflösbarkeit der Pellschen Gleichung im Körper \(K\) unter anderem einzugehen, sei gleich darauf hingewiesen, wie die fraglichen Ansätze ihre unmittelbarste Verwendung im Gebiete der Transformationstheorie der automorphen Funktionen finden (zweite Abhandlung), wo es wesentlich auf das Studium der bezüglichen Untergruppen ankommt. Dies hängt wiederum auf das engste mit der Idealtheorie der Körper \(K\) zusammen (dritte Abhandlung); im besondern lässt sich bei den ``Dreiecksgruppen'' \((2, 3, m)\) die Idealtheorie auf Grund der Theorie der höheren Kongruenzen durchführen. Im ersten Teile der zweiten Abhandlung werden die arithmetischen Bildungsgesetze der zu den Kreisbogendreiecken \((2, 4, 5)\) und \((2, 4, 6)\) gehörenden Gruppen diskutiert, ihre Fundamentalpolygone bestimmt, die wichtigsten Untergruppen funktionentheoretisch untersucht u. s. f., wobei sich merkwürdige Beziehungen zum Ikosaeder ergeben. Beziehen sich die genannten Gruppen auf die Transformation fünfter Ordnung, so gehören zur siebenten Ordnung die Gruppen der Dreiecke \((2, 3, 7)\) und \((2, 4, 7)\), wie im zweiten Teile der Arbeit ausgeführt wird. Herr Stouff betrachtet ``Fuchssche Gruppen'' mit komplexen Koefficienten, die von \(f\)-gliedrigen Perioden \(p\)-ter Einheitswurzeln abhängen. Leider ist die Arbeit der Redaction nur unvollständig zugänglich gewesen.