Note on linear substitutions. (Q1525207)

Die Punkte \(z_1\), \(z_2\), welche durch eine lineare Substitution \[ \omega = \frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}\qquad(\alpha\delta - \beta\gamma = 1) \] ungeändert bleiben, sind die Wurzeln von \(\gamma z^3+(\delta-\alpha)z-\beta=0\) und werden daher gegeben durch \[ \gamma z = \frac12(\alpha-\delta)\pm \frac12\sqrt{(\alpha+\delta)^2 -4}. \] Ist \(\alpha+\delta\) nicht gleich 2, so kann die erste Gleichung in der Form geschrieben werden: \[ \frac{\omega-z_1}{\omega-z_2} = k\frac{z-z_1}{z-z_2}, \] und der Multiplicator \(k\) wird gegeben durch \(k+1/k=(\alpha+\delta)^2-2\). Ist \(\alpha+\delta=2\), so dass die beiden Punkte \(z_1\), \(z_2\) zusammenfallen, so wird die obige Beziehung illusorisch, und wir bekommen statt ihrer \[ \frac1{\omega-z_1} = \frac1{z-z_1} + C. \] Wenn die Substitution diese letztere Form annimmt, so heisst sie ``parabolisch''. Wenn sie von der allgemeinen Gestalt ist, so heisst sie ``hyperbolisch'', ``elliptisch'' oder ``loxodromisch'', je nachdem \(k\) reell, imaginär mit dem Modul 1 oder mit einem von 1 verschiedenen Modul ist. Zweck des Aufsatzes ist die Bestimmung der Bedingungen, unter denen zwei Substitutionen, von denen keine loxodromisch ist, bei folgeweiser Anwendung auf eine Variable zu einer Substitution führen, die ebenfalls nicht loxodromisch ist. Die gefundene Bedingung besteht darin, dass ein Kreis vorhanden sein muss, der durch die beiden gegebenen Substitutionen ungeändert bleibt.