On the transcendence of the number \(e\). (Q1525215)

Man nehme an, die Zahl \(e\) genüge der Gleichung \(n^{\text{ten}}\) Grades: \[ a + a_1e + a_2e^2 +\cdots+ a_ne^n = 0, \] deren Coefficienten ganze rationale Zahlen sind. Hr. Hilbert (siehe JFM 25.0734.01) multiplicirt die linke Seite dieser Gleichung mit dem Integral: \[ \frac1{\varrho!}\int_0^\infty z^\varrho[(z-1)(z-2)\dots(z-n)]^{\varrho+1}e^{-z}dz \] (\(\varrho\) eine positive ganze Zahl) und spaltet das Product in zwei Summanden. In dem einen dieser Summanden lässt sich die Integration ausführen und ergiebt eine durch \(\varrho+1\) nicht teilbare ganze Zahl, jedenfalls wenn \(\varrho\) durch \(n!a\) teilbar ist; von dem zweiten Summanden wird auf Grund des Mittelwertsatzes der Integralrechnung gezeigt, dass er mit wachsendem \(\varrho\) unter jede Grenze sinkt. Die Summe beider Teile kann also nicht 0 sein, die vorgelegte Gleichung ist unmöglich. Nach demselben Princip, unter Heranziehung von Integralen zwischen complexen Grenzen, beweist Hr. Hilbert auch die Unmöglichkeit einer Gleichung der Form: \[ a + e^{\beta_1} + e^{\beta_2} +\cdots+ e^{\beta_m} = 0, \] wenn die \(\beta\) Wurzeln einer algebraischen Gleichung mit rationalen Coefficienten sind; woraus dann die Transcendenz von \(e\) folgt. Hr. Hurwitz (siehe JFM 25.0734.02; JFM 25.0734.03) behält den Schluss bei: die Summe aus einer durch eine bestimmte Zahl nicht teilbaren ganzen Zahl und einem echten Bruch kann nicht 0 sein, vermeidet aber die Integrale und benutzt nur den Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Hr. Gordan (siehe auch JFM 25.0734.04) vermeidet auch noch diesen, beruft sich nur auf elementare Eigenschaften der Exponentialreihe und zieht seine Formeln durch Benutzung der symbolischen Schreibweise: \(h^r=r!\) zusammen.