Pseudo-elliptic integrals and their dynamical applications. (Q1525277)

Wenn ein elliptisches Integral dritter Gattung sich, als besonderer Fall, durch Logarithmen oder inverse Kreisfunctionen ausdrücken lässt, so heisst es ein pseudo-elliptisches Integral. Die beiden Reductionsformeln, welche Abel (Ges. Werke I. 164 und II. 139) fand, lauten: \[ \int \frac{x+k}{\sqrt X}dx = A\log\frac{P+Q\sqrt X}{P-Q\sqrt X} \] und \[ \int \frac{x-k}{\sqrt{-X}}dx = A\arctan\frac QP\sqrt{-X}. \] In dynamischen Anwendungen tritt die letztere Form, die ``Circularform'' des Integrals auf; doch kann diese leicht auf die logarithmische oder hyperbolische Form zurückgeführt werden. Wie Halphen in seinem Traité des fonctions elliptiques, II, chap. XIV, benutzt Herr Greenhill Weierstrass'sche Bezeichnungen und Formeln zur Darstellung der Theorie der pseudo-elliptischen Integrale. Da das elliptische Integral dritter Gattung ein pseudo-elliptisches wird, wenn der Parameter ein aliquoter, z. B. der \(\mu^{\text{te}}\) Teil einer Periode ist, so steht die Theorie dieser Integrale im engsten Zusammenhang mit der Transformation der elliptischen Integrale und der Theorie der Modulargleichungen. Der Verfasser zeigt, dass sich der Grad der erforderlichen Gleichungen im Vergleich zu den von Halphen benutzten (F. E. III, chap. I u. II) wesentlich erniedrigen lässt. Der Darlegung der allgemeinen Theorie folgt die Durchführung der besonderen Fälle, welche den einfachsten numerischen Werten von \(\mu\) entsprechen. Schliesslich wird die Theorie der pseudo-elliptischen Integrale angewandt auf zwei dynamische Probleme: die Bewegung eines Kreisels oder Gyrostaten und die Bewegung eines starren Körpers um einen festen Punkt unter Abwesenheit einwirkender Kräfte.