Solution d'une question posée par M. Hermite. (Q1525288)

Die von Herrn Hermite im Intermédiaire Nr. 1, janv. 1894, gestellte Aufgabe lautet: ``Das elliptische Integral zweiter Gattung \[ J = \int_0^K k^2\operatorname{sn}^2xdx \] kann unter der Form \[ J = Kk^2\operatorname{sn}^2(\xi, k) \] geschrieben werden, wo \(\xi\) zwischen den Grenzen 0 und \(K\) liegt. Diese Grösse \(\xi\) giebt das Maximum der Function \(\frac{\theta'(x)}{\theta(x)}\), wie die Relation von Jacobi \[ \int_0^x k^2\operatorname{sn}^2x\,dx = \frac{Jx}K - \frac{\theta'(x)}{\theta(x)} \] zeigt. Es soll \(\xi\) als Function des Moduls durch eine Differentialgleichung definirt werden''. Die gesuchte Differentialgleichung lautet: \[ \begin{multlined} kk'^2 \frac{d^2\xi}{dk^2} + (1-3k^2)\frac{d\xi}{dk} - k\xi\\ = \frac{[k^2(K-J)^2+k'^2J^2][J^2-k^2K^2][(K-J)^2-k'^2K^2]}{4kk'[KJ(K-J)(k^2K-J)]^{\frac32}},\end{multlined} \] und \(\xi\) wird von der Form \[ \xi = K(k)f(k) + K'(k)\varphi(k), \] wo die Functionen \(f(k)\) und \(\varphi(k)\) durch einfache Quadraturen gegeben werden.