Researches of the multiplication of elliptic functions. (Q1525305)

In den Suites des notices sur les fonctions elliptiques, Journ. für Math. IV. 185-193, Ges. Werke I. 266-275, giebt Jacobi Ausdrücke für \(\operatorname{sn}2u\), \(\operatorname{sn}3u\), \(\operatorname{sn}4u\) und \(\operatorname{sn}5u\) durch die Differentialquotienten von \[ A = \sqrt{x^2(1-x^2)(1-k^2x^2)},\quad B = \sqrt{\frac{(1-x^2)(1-k^2x^2)}{x^2}} \] nach \(x^2\) oder \(\operatorname{sn}^2u\), und bemerkt, dass man diese Multiplicationsformeln, deren allgemeines Gesetz leicht ersichtlich, auch mit Hülfe der Differentialquotienten von \[ \frac1{\sqrt{x^2(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\text{ und }\frac1{\sqrt{\frac{(1-x^2)(1-k^2x^2)}{x^2}}} \] erhalten könne. Diese Herleitung wird hier gegeben.