Sur la théorie des fonctions sphériques. (Q1525347)

Die einfachste Definition der Kugelfunctionen ist folgende: Eine Kugelfunction ist eine homogene Function \(n^{\text{ter}}\) Ordnung der drei Richtungscosinus \(\xi\), \(\eta\), \(\zeta\) die der Laplace'schen Gleichung \[ \Delta\varphi = \frac{\partial^2\varphi}{\partial\xi^2} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial\eta^2} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial\zeta^2} = 0 \] genügt. Ist nämlich zunächst \(\varphi\) eine beliebige Function von \(\xi\), \(\eta\), \(\zeta\), und setzt man \[ \xi = \sqrt{1-\zeta^2}\cos w,\qquad\eta = \sqrt{1-\zeta^2}\sin w, \] so ergiebt sich durch Ausführung der Differentiation die Gleichung: \[ \frac{d(1-\xi^2)\frac{d\varphi}{d\zeta}}{d\zeta} + \frac1{1-\zeta^2}\frac{d^2\varphi}{dw^2} = \Delta\varphi - F(\varphi) - F(F(\varphi)),\tag{a} \] wo \[ F(\varphi) = \xi\frac{\partial\varphi}{\partial\xi} + \eta\frac{\partial\varphi}{\partial\eta} + \zeta\frac{\partial\varphi}{\partial\zeta} \] ist. Hat \(\varphi\) die durch die obige Definition geforderte Eigenschaft, so wird die rechte Seite der Gleichung (a) \(=-n(n+1)\varphi\), d. h. Gleichung (a) geht in die Gleichung der Kugelfunctionen mit zwei Argumenten (der sogenannten Laplace'schen Functionen) über. Zugleich erkennt man, dass, da die rechte Seite von (a) sich beim Uebergang von einem Coordinatensystem zu einem andern nicht ändert, auch der Ausdruck auf der linken Seite von (a) eine Differentialinvariante ist. Ferner folgt, dass die specielle Kugelfunction, welche nur von \(\zeta\) abhängt, stets durch eine Coordinatentransformation in den allgemeinen Typus übergeht und daher die fundamentale Kugelfunction des Winkels zweier beliebigen Richtungen ist.