On a theorem in differentiation, and its application to spherical harmonics. (Q1525356)

Der Verfasser leitet verschiedene die Kugelfunctionen betreffende Formeln aus der folgenden einen Gleichung her. Bezeichnet \(f_n\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)\) eine rationale homogene Function \(n^{\text{ter}}\) Ordnung der Operationssymbole \(\frac{\partial}{\partial x}\), \(\frac{\partial}{\partial y}\), \(\frac{\partial}{\partial z}\), bezeichnet ferner \(V^2\) das Laplace'sche Operationssymbol (d. h. \(V^2\varphi=\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}\)) und ist \(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\), so ist: \[ \begin{multlined} f_n\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)\frac1r =\\ (-1)^n\frac{(2n)!}{2^n.n!} \frac1{r^{2n+1}} \left[1 - \frac{r^2V^2}{2(2n-1)} + \frac{r^4V^4}{2.4(2n-1)(2n-3)} -\cdots\right] f_n(x,y,z).\end{multlined}\tag{1} \] Setzt man z. B. in (1) \(f_n(x,y,z)=z^n\) und beachtet, dass für \(z=r\mu\) \[ P_n(\mu) = (-1)^n\frac{r^{n+1}}{(n+1)!} \frac{\partial^n\frac1r}{\partial z^n} \] ist, so ergiebt sich die bekannte Reihe für \(P_n(\mu)\). Die Reihe für \(P_m^n(\cos\vartheta)\cos(m\varphi)\) erhält man, wenn man \[ f_n(x, y, z) = \{(x + iy)^m \pm(x - iy)^m\}z^{n-m} \] setzt und dann räumliche Polarcoordinaten einführt. Auch der Maxwell'sche Ausdruck für eine Kugelfunction, die gegebene Nullstellen hat, folgt aus (1), ebenso mehrere von Hrn. W. D. Niven aufgestellte Formeln, darunter die von diesem Autor gefundene Entwickelung der harmonischen Functionen des Ellipsoids (ellipsoidal harmonics) nach Kugelfunctionen. Die Formel (1) wird ferner dahin erweitert, dass an Stelle von \(\frac1r\) eine beliebige Function \(\varphi(r^2)\) tritt. Wird \(\varphi(u)=u^{-\frac12s}\) gesetzt, so ergiebt die erweiterte Formel die Reihenentwickelungen für die Kugelfunctionen höherer Ordnung (vergl. Heine, Handbuch der Kugelfunctionen, zweite Auflage, Bd. I. S. 451 ff.). Endlich lassen sich alle erwähnten Formeln auf eine beliebige Zahl von Variabeln ausdehnen. Die allgemeinste so erhaltene Gleichung ist folgende: \[ \begin{multlined} f_n\left(\frac{\partial}{\partial x_1},\frac{\partial}{\partial x_2},\dots,\frac{\partial}{\partial x_p}\right)\varphi(r ) =\\ \left\{2^n\frac{d^n\varphi}{d(r^2)^n} + \frac{2^{n-1}}2\frac{d^{n-1}\varphi}{d(r^2)^{n-1}}\nabla_p^2 + \frac{2^{n-2}}{2.4}\frac{d^{n-2}\varphi}{d(r^2)^{n-2}}\nabla_p^4 +\cdots\right\} f_n(x_1,x_2,\dots,x_p).\end{multlined}\tag{2} \] Darin ist \(f_n(x_1,x_2,\dots,x_p)\) eine rationale homogene Function vom Grade \(n\), ferner \[ \begin{aligned} r^2 &= x_1^2 + x_2^2 +\cdots+ x_p^2,\\ \nabla_p^2 &= \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2}{\partial x_2^2} +\cdots+ \frac{\partial^2}{\partial x_p^2},\\ \nabla_p^4 &= \nabla_p^2\nabla_p^2\text{ etc.}\end{aligned} \]