Das Additionstheorem der Functionen \(C_n^\nu(x)\). (Q1525360)

Die vom Verfasser schon früher (cf. F. d. M. XVI. 1884. 452, JFM 16.0452.02) untersuchten Functionen \(C_n^\nu(x)\), welche sich bekanntlich als Coefficienten der Entwickelung von \((1-2\alpha x+\alpha^2)^{-\nu}\) nach steigenden Potenzen von \(\alpha\) ergeben, besitzen das Additionstheorem: \[ \begin{split} C_n^\nu(xx_1 &- \sqrt{x^2-1}\sqrt{x_1^2-1}\cos\varphi)\\ &= \frac{\Pi(2\nu-2)}{[\Pi(\nu-1)]^2} \sum_{\lambda=0}^{\lambda=n} (-1)^\lambda \frac{4^\lambda\Pi(n-\lambda)[\Pi(\nu+\lambda-1)]^2}{\Pi(n+2\nu+\lambda-1)}\\ &\times (x^2-1)^{\frac12\lambda}(x_1^2-1)^{\frac12\lambda} C_{n-\lambda}^{\nu+\lambda}(x) C_{n-\lambda}^{\nu+\lambda}(x_1) C_\lambda^{\frac12(2\nu-1)}(\cos\varphi).\end{split} \] Dieses Theorem leitet der Verfasser ohne Benutzung der für die Functionen \(C_n^\nu(x)\) geltenden partiellen Differentialgleichung ab. Zu dem Zwecke nimmt er an, dass eine Relation von der Form: \[ C_n^\nu(xx_1 - \sqrt{x^2-1}\sqrt{x_1^2-1}\cos\varphi) = \sum_{\lambda=0}^{\lambda=n} A_\lambda C_\lambda^{\frac12(2\nu-1)}(\cos\varphi) \] besteht, und bestimmt dann die Coefficienten \(A_\lambda\) mit Hülfe von Formeln aus der Theorie der Functionen \(C_\lambda^\nu(x)\), die sich in dem ersten Teile der Arbeit zusammengestellt finden. Zum Schlusse bemerkt der Verfasser noch, dass die von Fujisawa (cf. F. d. M. XXIII. 1891. 507, JFM 23.0507.01) aufgestellte Formel nur ein specieller Fall der vom Verfasser gegebenen Relation \[ C_n^{\nu+1}(x) - C_{n-2}^{\nu+1}(x) = \frac{n+\nu}{\nu} C_n^\nu(x) \] ist.