On Bessel's functions, and relations connecting them with hyper - spherical and spherical harmonics. (Q1525364)

Ist \(\nabla_p^2 V\) der Laplace'sche Ausdruck für \(p\) Variabeln, d. h. \[ \nabla_p^2 V = \frac{\partial^2V}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2V}{\partial x_2^2} +\cdots+ \frac{\partial^2V}{\partial x_p^2}, \] so ist diejenige Lösung der Gleichung \[ \nabla_p^2 V + V = 0,\tag{a} \] welche nur von \(r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_p^2}\) abhängt, \[ V = \frac{J_{\frac12p-1}(r )}{r^{\frac12p-1}},\qquad\text{resp. }V = \frac{Y_{\frac12p-1}(r )}{r^{\frac12p-1}},\tag{b} \] worin, wie üblich, \(J\) und \(Y\) Bessel'sche Functionen erster und zweiter Art bezeichnen. Für die allgemeine Gleichung (a) spielen somit die Ausdrücke (b) dieselbe Rolle, wie die Function \(J_0(r)\) in dem speciellen Falle \(p=2\). Damit ist ein neuer Gesichtspunkt zur einheitlichen Behandlung der Bessel'schen Functionen, deren Index eine beliebige ganze Zahl, und derjenigen, deren Index die Hälfte einer ungeraden Zahl ist, gewonnen. Die Weiterverfolgung dieser Analogie führt zu Erweiterungen bekannter Formeln, sowie zu neuen Beziehungen zwischen Bessel'schen Functionen einerseits und Kugelfunctionen höherer Ordnung (hyperspherical harmonics) andererseits. Zu derartigen Beziehungen gelangt man insbesondere durch die Bemerkung, dass sich jede Lösung von (a) als Summe von Particularlösungen der Form \[ S_n(x_1,x_2,\dots,x_p) \frac{J_{n+\frac12p-1}(r )}{r^{n+\frac12p-1}}\tag{c} \] darstellen lässt, wo \(S_n\) eine verallgemeinerte Kugelfunction ist, d. h. eine homogene ganze Function \(n^{\text{ter}}\) Ordnung, welche der Gleichung \[ \nabla_p^2 S = 0\tag{d} \] genügt. Führt man statt der rechtwinkligen Coordinaten \(x_1\), \(x_2\), ..., \(x_p\) verallgemeinerte räumliche Polarcoordinaten ein und nimmt an, dass \(S_n\) ausser von \(r\) nur von dem Winkel \(\vartheta\) abhängt, den \(r\) mit der Axe \(x_1\) bildet, so wird \[ S_n = r^nP_n(p, \cos\vartheta),\tag{c}{\('\)} \] wo \(P_n(p, \cos\vartheta)\) eine Kugelfunction der Ordnung \(p\) ist, d. h. der Coefficient von \(h^n\) in der Entwickelung von \((1-2h\cos\vartheta+h^2)^{-(\frac12p-1)}\). Hat man so die allgemeine Form der Entwickelung irgend einer Function, so bleibt noch die Bestimmung der Coefficienten übrig. Diese wird an einer Reihe von Beispielen durchgeführt. Zur Kennzeichnung der sich ergebenden Resultate mögen die folgenden hier angeführt werden. Es ist \[ e^{ir\cos\vartheta} = 2^{\frac12p-1} \Pi(\frac12p-2) \sum_{n=0}^\infty i^n(n+\frac12p-1)P_n(p,\cos\vartheta)\frac{J_{n+\frac12p-1}(r )}{r^{\frac12p-1}}, \] \[ e^{r\cos\vartheta}J_{\frac12(p-3)}(r\sin\vartheta) = \frac{\Pi(p-3)(r\sin\vartheta)^{\frac12(p-3)}}{2^{\frac12(p-3)}\Pi\left(\frac{p-3}2\right)} \sum_{n=0}^\infty \frac{r^n}{\Pi(p+n-3)} P_n(p,\cos\vartheta), \] \[ \begin{multlined} \frac{J_{\frac12(p-3)}(r\sin\vartheta)}{(r\sin\vartheta)^{\frac12(p-3)}} = \sqrt2 \frac{\Pi(p-3)}{r^{\frac12p-1}} \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(2n+\frac{p-2}2\right) \Pi(2n)\Pi\left(n+\frac{p-4}2\right)}{\Pi\left(\frac{p-3}2\right) \Pi(n) \Pi(2n+p-3)}\\ \times P_{2n}(p,\cos\vartheta) J_{2n+\frac12p-1}(r ).\end{multlined} \] Das Additionstheorem der Bessel'schen Functionen wird folgendermassen erweitert: Ist \[ R^2 = r^2 + r_1^2 - 2rr_1\cos\vartheta, \] so ist \[ \begin{multlined} \frac{J_{\frac12p-1}(R)}{R^{\frac12p-1}} = \frac1{(rr_1)^{\frac12p-1}}\left\{J_{\frac12p-1}(r)J_{\frac12p-1}(r_1)\right.\\ + \left. 2^{\frac12p-1} \Pi(\frac12p-2) \sum_1^\infty(n+\frac12p-1) J_{n+\frac12p-1}(r ) J_{n+\frac12p-1}(r_1) P_n(p,\cos\vartheta)\right\}.\end{multlined} \] Von Integralrelationen seien die folgenden erwähnt: Es ist \[ \int_0^\infty J_0(u)J_{2n+\frac12}(u)\frac{du}{\sqrt u} = \sqrt{\frac2{\pi}} \frac{2n+\frac12}{2n+1}\left\{\frac{\Pi(n-\frac12)}{\Pi(n)}\right\}^2, \] während das Integral, in dem \(2n-\frac12\) an Stelle von \(2n+\frac12\) steht, verschwindet. Ferner ist \[ \frac{J_{\frac12p-1}(r )}{\sqrt r} = \sqrt{\frac2{\pi}} \int_0^{\frac12\pi} J_{\frac12(p-3)}(r\sin\vartheta)\sin^{\frac12(p-1)}\vartheta d\vartheta. \] Endlich werden die Kugelfunctionen durch Integrale dargestellt, die Bessel'sche Functionen enthalten; z. B. ist \[ P_n(\cos\vartheta) = \frac1{n!} \int_0^\infty \lambda^n e^{-\lambda\cos\vartheta}J_0(\lambda\sin\vartheta)d\lambda, \] \[ P_n^{(m)}(\cos\vartheta) = \frac1{(n-m)!} \int_0^\infty \lambda^n e^{-\lambda\cos\vartheta}J_m(\lambda\sin\vartheta)d\lambda \] (hier ist \(n\) der Hauptindex, \(m\) der Nebenindex von \(P_n^{(m)}\)), und eine analoge Darstellung gilt für die Kugelfunctionen zweiter Art.