Einführung in die Grundlagen der Geometrie. I. Band. (Q1525379)

Der Verfasser hat den dankenswerten Versuch unternommen, die in den letzten Jahrzehnten gemachten Untersuchungen über die Grundlagen der Geometrie zu einem einheitlichen Ganzen zu verarbeiten. Der vorliegende I. Band zerfällt in vier grössere Abschnitte, welche die Berechtigung der nichteuklidischen Raumformen, die Grundlagen der projectiven Geometrie, die Erweiterungen auf Räume von \(n\) Dimensionen und die erst neuerdings von Clifford und Klein angegebenen Raumformen behandeln. Der Ausgangspunkt ist der bekannte Satz, dass, wenn zwei parallele Gerade von einer dritten geschnitten werden, die Summe der beiden inneren, an derselben Seite gelegenen Winkel zwei Rechte beträgt. Euklid vermochte den Satz nicht zu beweisen und nahm ihn daher als (fünftes) Postulat auf; später hat man ihn als das elfte Axiom Euklid's bezeichnet. Auch seit Euklid ist es trotz vieler Versuche, die im einzelnen besprochen werden, nicht gelungen, den fraglichen Satz als Folge der übrigen Voraussetzungen Euklid's herzuleiten. Man musste daher mit der Zeit darauf geführt werden, von dem fünften Postulat zu abstrahiren, oder genauer, unter Beibehaltung aller übrigen Voraussetzungen, die Begriffe und Vorstellungen Euklid's durch ändere Begriffe und Vorstellungen zu ersetzen, für welche das fünfte Postulat zu gelten aufhört. So entstand die Lobatschefsky'sche Geometrie, wo an die Stelle der Geraden der Ebene die kürzesten Linien einer Fläche constanter negativer Krümmung treten, andererseits, unter Annahme der Endlichkeit der ``Geraden'', die Riemann'sche, resp. Klein'sche Raumform, wo alle von einem Punkte ausgehenden ``Geraden'' entweder noch durch einen zweiten Punkt gehen, oder nicht. Alle diese Geometrien gelten indessen zunächst nur für ein begrenztes Raumgebiet: wie hängen aber die einzelnen Raumteile zusammen? Ein System starr mit einander verbundener Körper bewegt sich, nach der üblichen Vorstellung, immer auf eine und dieselbe Weise, gleichgültig, welches die Art und Weise der starren Verbindung ist. Abstrahirt man indessen von dieser Annahme, so ergeben sich ganz neue, nämlich die Clifford - Klein'schen Raumformen. Der Leser wird mit Dank die vielen Anregungen und Belehrungen auf sich wirken lassen, die das Buch gewährt; insbesondere ist der mit Umsicht geschriebene Abschnitt über den mehrdimensionalen Raum geeignet, falsche Vorurteile zu zerstören.