Rapport sur un mémoire de M. Cl. Servais intitulé: Sur les imaginaires en géométrie. (Q1525420)

Bekanntlich ist von Staudt zu einer rein geometrischen Darstellung des Imaginären gelangt. Unter Annahme der Begriffsbestimmungen des deutschen Geometers bezweckt Hr. Servais die Ausführung der Constructionen, in welche solche Elemente eingehen, und den Beweis der Sätze, in denen sie vorkommen. Seine Untersuchungen zerfallen in zwei wohl unterschiedene Teile. Im ersten Teile beschäftigt er sich mit der ebenen Geometrie; der zweite ist der räumlichen Geometrie und einer Studie über die kubische Raumcurve gewidmet. Nach einer Wiederholung der von Staudt'schen Definition für die einzelnen imaginären Elemente löst der Verf. die Aufgabe: eine Gerade zu construiren, die durch zwei nicht conjugirte Punkte geht. Hierauf definirt er die sich entsprechenden imaginären Elemente bei den projectiven Gebilden und die imaginären Elemente eines Kegelschnittes. Dann bespricht er die Involution auf einem Kegelschnitte als besonderen Fall der projectiven Reihen. Nachdem der Verf. so für imaginäre Elemente die bekannten Eigenschaften der Projectivität und der Involution aufgestellt und zugleich die Construction der entsprechenden sie vertretenden Elemente gelehrt hat, wird es ihm leicht, den Nachweis zu führen, dass man für beliebige Vierecke mit reellen oder imaginären Ecken die bekannten involutorischen Eigenschaften wiederfindet. Die Theoreme von Desargues, Lamé, Sturm werden in ihrer vollen Allgemeinheit bewiesen, ebenso die aus ihnen fliessenden Folgerungen. Im zweiten Teile der Abhandlung definirt der Verf. die imaginären Geraden des Raumes durch die Betrachtung des geradlinigen involutorischen Systems. Zum Schlusse nimmt er die bekannten Eigenschaften der kubischen Raumcurve einzeln durch und beweist, dass dieselben bestehen bleiben, wenn die Elemente nicht mehr reell sind.