Die Kugelgeometrie nach den Principien der Grassmann'schen Ausdehnungslehre. (Schluss.). (Q1525794)

Ueber die Bedeutung der im Titel genannten Arbeit im allgemeinen s. das Referat F. d. M. XXIV. 1892. 604 (siehe JFM 24.0604.01). Im vorliegenden zweiten Teile werden zunächst die im ersten behandelten Methoden und Sätze der Kugelgeometrie in der Art specialisirt, dass an Stelle der Kugeln nach einander, Kreise in der Ebene Punktepaare einer Geraden, Kreise auf der Kugelfläche und Punktepaare auf der Kreislinie betrachtet werden, alles in genauer Analogie mit den Untersuchungen des ersten Teils. Dabei ergiebt sich das allgemeine Resultat, dass die Kreisgeometrie der Ebene identisch ist mit der Geometrie eines Gebüsches von Kugeln, deren Centren in einer Ebene liegen, und die Geometrie der Punktepaare einer Geraden identisch mit derjenigen eines Bündels von Kugeln, deren Centren in einer Geraden liegen. --- Sodann wird an einer Reihe von Beispielen gezeigt, wie jede allgemeine Formel der Ausdehnungslehre im Sinne jedes der genannten Gebiete gedeutet werden kann und auf diese Weise Sätze von äusserlich grosser Verschiedenheit als zusammenhängend erkennen lässt. Hierbei kommen unter anderem Configurationen, Polyeder und Kugelcoordinaten zur Sprache. Eine weitere Quelle von Sätzen ergiebt sich endlich durch Anwendung des Begriffs der collinearen Verwandtschaften. Hierbei wird besonders eingehend die schon von Grassmann erwähnte, auch von den Herren Schoute und Mehmke untersuchte Abbildung der Kreise einer Ebene auf den Punktraum behandelt, und es findet sich, dass jeder Satz der projectiven Geometrie einen Satz über Kreise in der Ebene liefert, und umgekehrt, wie denn auch linearen Transformationen eines Raumes, welche eine Fläche in sich selbst transformiren, Kreis-Transformationen in einer Ebene entsprechen, bei welchen der Winkel zweier Kreise unverändert bleibt. Zum Schluss sei bemerkt, dass es überall einfache Rechnungen und Formeln der Ausdehnungslehre sind, von denen aus weite Perspectiven auf Gruppen neuer und alter Sätze und ihre Beziehungen zu einander gewonnen werden.