Construction von hyperosculirenden Kugeln der kubischen Raumcurven. (Q1525802)

Die sechs Schnittpunkte einer Raumcurve dritter Ordnung mit einer Kugel liegen auf zehn Kreispaaren, deren jedes einem die Curve enthaltenden Hyperboloide angehört. Werden drei der sechs Punkte festgehalten, so bewegt sich also die Ebene der drei anderen zu sich selbst parallel. Zusammengehörige Ebenenstellungen ergeben eine quadratisch - involutorische Verwandtschaft unter den Geraden der unendlich fernen Ebene. Durch Abzählen findet der Verfasser, dass durch drei Punkte der Raumcurve vier berührende Kugeln gehen, durch zwei Punkte sechs osculirende, durch einen Punkt acht hyperosculirende Kugeln, dass an zehn Stellen fünf aufeinander folgende Punkte auf einer Kugel liegen, durch einen beliebigen Punkt ausserhalb der Curve acht Kugeln gehen, die in drei Punkten berühren, etc. Die hyperosculirende Kugel in einem gegebenen Punkt \(A\) hat ihren Mittelpunkt auf der Normale des Hyperboloids, das den Krümmungskreis mit der Raumcurve dritter Ordnung verbindet. Diese Normale ist zugleich die Axe des Rotationskegels, der die Schmiegungsebene in \(A\) und die beiden unendlich benachbarten berührt, und enthält den Mittelpunkt der Kugel, die durch vier unendlich nahe Schmiegungsebenen bestimmt wird. Der Verfasser giebt eine Construction für dieses Gebilde. Den Schluss macht folgender Satz: Die drei Hauptebenen, die Tangentialebene und die Normalebene in einem beliebigen Strahle eines Kegels zweiter Ordnung bestimmen einen Kegel, der die letztere Ebene in der Krümmungsaxe des Strahles berührt.